Kaksiulotteinen Fourier-muunnos ja kuvankäsittely taajuustasossa

Abstract

Fourier-muunnoksen avulla funktiolle voidaan muodostaa taajuusesitys, jolloin saadaan selville ne taajuuskomponentit, joista funktio rakentuu. Tässä työssä käsiteltävä kaksiulotteinen Fourier-muunnos on Fourier-muunnoksen laajennus kaksiulotteisille funktioille. Fourier-muunnos voidaankin määritellä mielivaltaisen moniulotteisille funktioille.

Diskreetti Fourier-muunnos (engl. Discrete Fourier Transform, DFT) on Fourier-muunnoksen versio, jota voidaan hyödyntää analysoitaessa ja käsiteltäessä käytännön signaaleja, sillä todellisuudessa käsiteltävät signaalit ovat aina diskreettejä. Työssä tutkitaan kaksiulotteisen diskreetin Fourier-muunnoksen ominaisuuksia, joiden ansiosta muunnos soveltuu etenkin signaalien taajuustason suodatukseen. Työssä tarkasteltavia ominaisuuksia ovat muuan muassa muunnoksen translaatio-ominaisuus ja jaksollisuus sekä erityisesti konvoluutiolause, joka antaa yhteyden taajuus- ja paikkatason suodatukselle.

Digitaalinen kuva voidaan esittää kahden muuttujan funktiona, joten kaksiulotteista diskreettiä Fourier-muunnosta voidaan hyödyntää kuvan taajuussisällön tarkastelussa. Kuvan taajuusesityksessä matalat taajuudet edustavat hitaita intensiteetinvaihteluita kuvassa, kun taas korkeat taajuudet vastaavat teräviä reunoja ja yksityiskohtia. Kuvasta voidaan suodattaa pois tiettyjä taajuuskomponentteja muuttamalla se ensin kaksiulotteisen diskreetin Fourier-muunnoksen avulla taajuustasoon, muokkaamalla tämän jälkeen kuvan taajuusesitystä kertomalla se suodinfunktiolla, ja muuttamalla se lopuksi takaisin paikkatasoon käänteismuunnoksen avulla.

Työssä tutustutaan alipäästösuotimiin, jotka poistavat korkeita taajuuksia sumentaen kuvaa, sekä ylipäästösuotimiin, jotka korostavat teräviä reunoja vaimentamalla matalia taajuuksia. Ali- ja ylipäästösuodatusta käytetään esimerkiksi useiden automaattisten järjestelmien esikäsittelyvaiheissa.