Ephemeral Modules and Scott Sheaves in Persistence

Abstract

Justin Curryn uraauurtavan väitöskirjan ilmestymisen jälkeen lyhdeteoria on herättänyt yhä enemmän huomiota topologisen data-analyysin tutkimuksessa. Tämä tutkielma yhdistää lyhdeteorian menetelmiin alueteoriaa aivan uudella tavalla. Alueteoriassa osittain järjestettyyn joukkoon liittyy lukuisia topologioita, joista merkittävimmät ovat Alexandrovin ja Scottin topologiat. Näiden kahden topologian päällä olevien lyhteiden vuorovaikutus on yksi tämän tutkimuksen pääkohteista.

Topologisessa data-analyysissä niitä datan ominaisuuksia, joiden “elinikä” on lyhyt, pidetään kohinan seurauksena, ja siten vähemmän merkittävinä. Niin sanotut lyhytkestoiset ominaisuudet, eli ne joiden elinikä on nolla, ovat ääriesimerkkejä tästä ilmiöstä. Chazal määritteli yhdessä muiden tutkijoiden kanssa lyhytkestoisen modulin käsitteen, mutta vain reaalilukujen tapauksessa.

Tässä tutkielmassa yleistetään lyhytkestoisuuden käsite jatkuvien osittain järjestettyjen joukkojen tapaukseen. Työssä käsitellään persistenssimodulien kategorian lyhytkestoisten modulien Serren alikategoriaan liittyvää tekijäkategoriaa. Käy ilmi, että se on ekvivalentti Scottin lyhteiden kategorian kanssa. Näiden kahden kategorian osoitetaan myös olevan ekvivalentteja sekä ylä- että alapuolijatkuvien persistenssimodulien täysien alikategorioiden kanssa. Tähän tekijäkategoriaan liittyy myöskin perinnöllinen torsioteoria. Työssä tutkitaan sitä vastaavaa torsiofunktoria. Osoittautuu, että siihen liittyy lyhyt eksakti jono ja isomorfismit, jotka ovat verrattavissa lyhdekohomologiaa ja lokaalia kohomologiaa yhdistävään Serre-Grothendieck -vastaavuuteen. Lopuksi tarkastellaan persistenssimodulien ja Scottin lyhteiden metrisiä ominaisuuksia käyttäen edellä mainittua ekvivalenssia. Erityisesti näitä voidaan käyttää lyhytkestoisten modulien luonnehtimiseen.

Since Justin Curry’s pioneering dissertation, sheaf theory has gained more attention in the field of topological data analysis. In this thesis, we want to offer a new direction for these methods by applying domain theory. In domain theory, a poset has a number of topologies associated to it; the Alexandrov and Scott topologies being the most significant for our investigations. The sheaves on these two topologies and their interplay are our main object of study.

In topological data analysis, features of the data that have a short “lifespan” are often seen as a result of noise, and so they are considered less significant. The ephemeral features are the most extreme examples of this phenomenon having lifespan zero. Chazal and his co-authors introduced the notion of an ephemeral module, but they only considered the poset <mathbb>R</mathbb>.

We generalize the notion of ephemerality to continuous posets. We consider the quotient category of the category of persistence modules by the Serre subcategory of ephemeral modules and show that it is equivalent to the category of Scott sheaves. We prove that these categories are further equivalent to the full subcategories of lower and upper semi-continuous modules. This quotient category has a hereditary torsion associated to it. We examine the corresponding torsion functor, observing in particular that there exists an exact sequence and isomorphisms mimicking the celebrated Serre-Grothendieck correspondence between sheaf cohomology and local cohomology. Finally, we study the metric properties of persistence modules and Scott sheaves via the aforementioned equivalence. We also investigate how ephemeral modules fit into this setting.