Ryhmäteorian isomorfialauseet

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään ryhmien isomorfialauseita. Lauseet esitellään, todistetaan sekä niitä havainnoidaan esimerkein. Työn tavoitteena on välittää lukijalle ymmärrys siitä, mitä isomorfialauseet ovat, mikä niiden merkitys on ryhmäteoriassa ja miten niitä voidaan käyttää. Aihe on kiinteästi sidoksissa ryhmäteoriaan, joten lukijalta oletetaan tuntemusta ryhmäteoriasta vastaten ainakin yhtä yliopistotason kurssia. Ymmärrystä muista abstraktin algebran käsitteistä, kuten renkaista, kunnista ja moduleista, ei vaadita.

Työn alussa esitellään esitiedot, joita tarvitaan myöhemmässä osassa todistamaan isomorfialauseet. Ryhmistä ja aliryhmistä esitellään vain aliryhmätesti sekä muutama aputulos aliryhmiin liittyen. Ryhmien ja aliryhmien määritelmät oletetaan tunnetuiksi. Sen sijaan sivuluokka, normaali aliryhmä ja tekijäryhmä määritellään suoraan, ja näihin liittyen esitellään muutamia aputuloksia. Näiden jälkeen ryhmäteorian keskeiset kuvaukset, homomorfismi ja isomorfismi, määritellään yhdessä ytimen kanssa. Lukijalle mahdollisena uutena asiana esitellään homomorfisen kuvan käsite. Huomataan, että homomorfinen kuva on kiinteästi sidoksissa tekijäryhmään, ja että tähän suhteeseen liittyy yhtenä osapuolena ensimmäinen isomorfialause.

Esitietojen jälkeen siirrytään käsittelemään isomorfialauseita. Aluksi selvennetään isomorfialauseista käytettyjä nimityksiä matematiikan kirjallisuudessa sekä päätetään työssä käytettävästä nimeämistavasta lauseille. Jokaisesta lauseesta annetaan niiden englanninkieliset nimet sekä annetaan lyhyt selitys siitä, mitä lause tarkoittaa yleisellä tasolla. Jokaisen todistuksen jälkeen annetaan esimerkki kuvaamaan, miten lausetta voidaan käyttää ryhmäteoriassa. Esimerkeissä on vältetty liiallista abstraktisuutta käyttämällä aina suhteellisen yksinkertaisia ryhmiä, joita ilmenee sovelletussa ryhmäteoriassa.