Aritmeettisten funktioiden Dirichlet'n sarja
Ruoho, Petra (2024)
2024
Matematiikan ja tilastollisen data-analyysin maisteriohjelma - Master's Programme in Mathematics and Statistical Data Analytics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2024-12-03
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-2024112410454
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-2024112410454
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa tarkastellaan aritmeettisten funktioiden Dirichlet'n sarjaa. Ensin määritellään kompleksiset aritmeettiset funktiot ja lyhyesti kerrotaan tämän työn kannalta oleellisimmista aritmeettisista funktioista. Tässä työssä keskeisessä asemassa ovat Eulerin ja Möbiuksen funktiot, zeta-funktio sekä identiteettifunktio. Näillä aritmeettisilla funktioilla on yhteinen ominaisuus se, että ne ovat multiplikatiivisia. Multiplikatiivisuus mahdollistaa aritmeettisten funktioiden laajemman käytön.
Aritmeettisia funktioita ja Dirichlet'n sarjoja tutkittaessa on hyödyllistä määritellä Dirichlet'n tulo eli konvoluutio. Se on binäärioperaatio, joka generoi kahdesta aritmeettisesta funktiosta uuden aritmeettisen funktion. Seuraavaksi todistetaan, että Dirichlet'n tulo ja yhteenlasku ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä sekä yhteenlasku on distributiivinen kertolaskun suhteen. Osoitetaan, että Dirichlet’n tulon neutraalialkio on identiteettifunktio. Sen jälkeen esitetään lauseet Dirichlet'n tulon multiplikatiivisuudesta, esimerkiksi multiplikatiivisten aritmeettisten funktioiden Dirichlet'n tulo on myös multiplikatiivinen.
Funktioita tarkastellessa meitä kiinnostaa tietää, onko funktioille olemassa käänteisfunktio. Huomataan, että tietylle aritmeettisille funktioille voidaan määritellä käänteisfunktio Dirichlet’n tulon suhteen, joka on yksikäsitteinen. Käänteisfunktio Dirichlet’n tulon suhteen voidaan löytää Möbiuksen käänteiskaavan avulla. Silloin ilmaistaan annettu funktio Möbiuksen funktion lineaarikombinaationa. Tällä tavalla osoitetaan Eulerin ja Möbiuksen funktion välinen yhteys.
Tutkielmassa määritellään Dirichlet'n sarja ja tutkitaan sen ominaisuuksia, kuten itseistä suppenemista sekä suppenemista. Nähdään, että verrattuna perinteisiin kompleksisarjoihin, Dirichletin sarja ei suppene kiekossa, vaan puolitasossa. Osoitetaan, että jos sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee.
Sen lisäksi käydään läpi Dirichlet'n sarjojen tulo ja Dirichlet'n sarjan esitys Eulerin tulona. Todistetaan, että kahden multiplikatiivisen funktion Dirichlet’n tulo vastaa niiden Dirichlet’n sarjojen Cauchyn tuloa sekä Eulerin funktion Dirichlet’n sarja esitetään Riemannin zeta-funktion avulla. Koska monen aritmeettisen funktion arvot vaihtelevat, niin tutkielman lopussa tutustutaan Dirichlet'n sarjan keskiarvoon ja integraalimuotoon.
Aritmeettisia funktioita ja Dirichlet'n sarjoja tutkittaessa on hyödyllistä määritellä Dirichlet'n tulo eli konvoluutio. Se on binäärioperaatio, joka generoi kahdesta aritmeettisesta funktiosta uuden aritmeettisen funktion. Seuraavaksi todistetaan, että Dirichlet'n tulo ja yhteenlasku ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä sekä yhteenlasku on distributiivinen kertolaskun suhteen. Osoitetaan, että Dirichlet’n tulon neutraalialkio on identiteettifunktio. Sen jälkeen esitetään lauseet Dirichlet'n tulon multiplikatiivisuudesta, esimerkiksi multiplikatiivisten aritmeettisten funktioiden Dirichlet'n tulo on myös multiplikatiivinen.
Funktioita tarkastellessa meitä kiinnostaa tietää, onko funktioille olemassa käänteisfunktio. Huomataan, että tietylle aritmeettisille funktioille voidaan määritellä käänteisfunktio Dirichlet’n tulon suhteen, joka on yksikäsitteinen. Käänteisfunktio Dirichlet’n tulon suhteen voidaan löytää Möbiuksen käänteiskaavan avulla. Silloin ilmaistaan annettu funktio Möbiuksen funktion lineaarikombinaationa. Tällä tavalla osoitetaan Eulerin ja Möbiuksen funktion välinen yhteys.
Tutkielmassa määritellään Dirichlet'n sarja ja tutkitaan sen ominaisuuksia, kuten itseistä suppenemista sekä suppenemista. Nähdään, että verrattuna perinteisiin kompleksisarjoihin, Dirichletin sarja ei suppene kiekossa, vaan puolitasossa. Osoitetaan, että jos sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee.
Sen lisäksi käydään läpi Dirichlet'n sarjojen tulo ja Dirichlet'n sarjan esitys Eulerin tulona. Todistetaan, että kahden multiplikatiivisen funktion Dirichlet’n tulo vastaa niiden Dirichlet’n sarjojen Cauchyn tuloa sekä Eulerin funktion Dirichlet’n sarja esitetään Riemannin zeta-funktion avulla. Koska monen aritmeettisen funktion arvot vaihtelevat, niin tutkielman lopussa tutustutaan Dirichlet'n sarjan keskiarvoon ja integraalimuotoon.