Data-driven eigenvalue estimation of dynamical systems using dynamic mode decomposition

Abstract

A traditional way to come up with a system model is using laws of physics to write down differential equations describing the system dynamics. However, this can be complicated in practice. Contrary to a model-based approach, data-driven methods seek to determine the system dynamics using only the measurement data of a system. This thesis aims to study how the eigenvalues of a system matrix can be estimated using a data-driven method. The thesis studies how the parameters of the method, namely the rank of the reduced order model and the sample size affect the estimation accuracy.

This work contains a short introduction to the basics of control engineering, including linear time-invariant system and its state-space representation. Next, the stability of a linear system is explained and how the eigenvalues of a system matrix are related to that. The chosen algorithm is presented, and its most important aspects are reviewed. Last, the simulation setup is explained, and the results are presented.

Two matrices were used to create artificial state measurements. For both matrices, the aim was to estimate low-frequency eigenvalues located close to the imaginary axis which are important in power systems. It was noticed that if the rank of the reduced order model was set too low, increasing the sample size did not help. On the other hand, the small sample size was enough if the rank was appropriate for the given matrix. In addition, the case of missing state measurements was modeled using only a subset of the states. The partial states setup was able to estimate many of the same low-frequency eigenvalues as the model with all the states.

Perinteisesti systeemimalli on muodostettu fysiikan lakien pohjalta kirjoitetuista järjestelmän käyttäytymistä kuvaavista differentiaaliyhtälöistä. Käytännössä tämä voi olla monimutkaista. Mallipohjaisen menetelmän sijaan datalähtöiset menetelmät pyrkivät muodostamaan järjestelmämallin perustuen ainoastaan kerättyyn mittausdataan. Tämän työn tarkoituksena on tutkia, kuinka järjestelmämatriisin ominaisarvoja voidaan estimoida datalähtöisellä menetelmällä. Työ tutkii kuinka menetelmän parametrit; alempiulotteisen tilamallin koko ja käytetyn datan määrä vaikuttavat estimaattien tarkkuuteen.

Työ sisältää lyhyen johdatuksen säätötekniikan perusteisiin, mukaan lukien lineaarisen aikainvariantin järjestelmän ja sen tila-avaruusesityksen. Seuraavaksi selitetään lineaarisen järjestelmän stabiilisuus ja kuinka järjestelmämatriisin ominaisarvot liittyvät siihen. Valittu algoritmi esitellään ja sen oleellisimmat näkökohdat käydään läpi. Lopuksi esitetään simulointiasetelma ja tulokset.

Simulointidatan luomiseen käytettiin kahta matriisia. Molemmista matriiseista pyrittiin estimoimaan lähellä imaginääriakselia sijaitsevia matalia taajuuksia vastaavia ominaisarvoja, jotka ovat oleellisia sähkövoimajärjestelmissä. Havaittiin, että jos redusoidun mallin koko on liian pieni, havaintojen määrän kasvattaminen ei paranna estimaattien tarkkuutta. Toisaalta pienikin datamäärä riitti, jos koko oli asetettu kyseiselle matriisille sopivalle tasolle. Lisäksi käyttämällä vain osaa järjestelmän tiloista, mallinnettiin tilannetta, jossa mittausdata on vaillinaista. Myös tällöin saatiin estimoitua samoja ominaisarvoja, kuin oli saatu käyttäen kaikkia tiloja.