Todennäköisyyslaskennan luonnollinen aksioomajärjestelmä

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan todennäköisyyslaskennan aksioomia kahden aksioomajärjestelmän, Kolmogorovin ja luonnollisen aksioomajärjestelmän, avulla. Kolmogorovin aksioomajärjestelmä, joka on ollut pitkään todennäköisyysteorian perusta, koostuu kolmesta keskeisestä aksioomasta. Tästä huolimatta järjestelmä ei kykene täysin käsittelemään kaikkia todennäköisyysteorian tarpeita, jonka takia on kehitetty Kolmogorovin aksioomajärjestelmää laajentava teoria. Tämä teoria on nimeltään todennäköisyyslaskennan luonnollinen aksioomajärjestelmä. Tutkielma perustuu todennäköisyysteoriaan, joten lukijalta edellytetään todennäköisyyslaskennan perusasioiden hallitsemista.

Tutkielman tavoitteena on pyrkiä osoittamaan, että luonnollinen aksioomajärjestelmä tarjoaa kattavamman ja selkeämmän perustan todennäköisyyslaskennan teorialle, kuin Kolmogorovin alkuperäinen teoria pystyy. Tutkielman alussa käsitellään yleisesti todennäköisyysteorian historiaa ja Kolmogorovin teorian taustaa, jonka jälkeen esitellään Kolmogorovin teorian mukaiset kolme todennäköisyyden perusaksioomaa. Tämän jälkeen tutustutaan luonnolliseen aksioomajärjestelmän kuuteen aksioomaryhmään, jotka jaetaan kahden todennäköisyysperiaatteen mukaan. Seuraavaksi käydään läpi järjestelmien eroja, sekä Kolmogorovin teorian puutteita, joiden takia luonnollinen aksioomajärjestelmä on kehitelty.

Tutkielman pääsisältö on luonnollisen aksioomajärjestelmän kuusi aksioomaryhmää. Tutkielmassa tuodaan esiin, kuinka kukin aksioomaryhmä rakentuu ja miten ne yhdessä muodostavat kattavan pohjan todennäköisyysteorialle. Aksioomaryhmistä käsitellään niihin kuuluvat aksioomat ja niihin liittyviä määritelmiä, sekä esimerkkejä.

Ensimmäinen aksioomaryhmä esittelee tapahtumien väliset relaatiot, toisessa ryhmässä esitellään tapahtuma-avaruutta määrittelemällä kausaaliavaruus ja -piste. Kolmas aksioomaryhmä kuvaa, kuinka kausaaliavaruuden eristettyjä joukkoja voidaan muodostaa ja käsitellä. Neljäs aksioomaryhmä sisältää Kolmogorovin aksioomat ja lisäksi kaksi teoriaa laajentavaa todennäköisyyslaskennan aksioomaryhmän aksioomaa. Viidennessä ryhmässä tutkitaan ehdollisten todennäköisyyksien laskentaa ja kuudennessa ryhmässä todennäköisyysmallien käsittelyä ja muodostamista.