Differentiaaliyhtälöiden heikot ratkaisut

Abstract

Tutkielmassa tarkastellaan differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja yleistettyjen funktioiden teorian kautta. Tällöin differentiaaliyhtälössä esiintyvä tuntematon funktio ja tämän derivaattafunktio mielletään yleistettyinä funktioina eli distribuutioina. Distribuutiomuodossa kirjoitetun differentiaaliyhtälön ratkaisuja kutsutaan differentiaaliyhtälön heikoiksi ratkaisuiksi. Nimensä ratkaisut ovat saaneet differentiaaliyhtälössä esiintyvistä heikoista derivaatoista.

Differentiaaliyhtälön ratkaisua lähestytään tutkielmassa siis yleistettyjen funktioiden teorian kautta. Yleistetyt funktiot eivät vastaa funktioita perinteisessä mielessä. Sen sijaan yleistetyt funktiot ovat tietyllä tavalla hyvin käyttäytyvien funktioiden muodostaman avaruuden funktionaaleja. Hyvin käyttäytyvillä funktioilla tarkoitetaan tässä yhteydessä sileitä kompaktikantajaisia funktioita. Näitä funktioita kutsutaan testifunktioksi. Yleistetty funktio määritellään testifunktioavaruuden lineaariseksi ja jatkuvaksi funktionaaliksi. Yleistetty funktio on siis kuvaus testifunktioavaruudesta reaaliavaruuteen.

Yleistettyjen funktioiden käyttö differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa on perusteltua, sillä yleistetyn funktion derivaatta on aina olemassa. Tämä tulos osoitetaan luvussa 3. Tällöin siis erityisesti differentiaaliyhtälöissä esiintyvät tuntemattoman funktion derivaatat ovat olemassa. Tämä tulos ei selvästikään olisi perinteisten funktioiden yhteydessä aina välttämättä voimassa. Tarkasteltaessa differentiaaliyhtälöä distribuutiomielessä sen heikko ratkaisu on siis aina olemassa. Yksi tapa selvittää ratkaisu on käyttää avuksi Fourier-muunnosta ja konvoluutiota.

Luvussa 4 esitellään Fourier-muunnos ensin lokaalisti integroituville funktioille. Tämän jälkeen muunnos laajennetaan koskemaan yleistettyjä funktioita. Oleellisina Fourier-muunnoksen tuloksina osoitetaan muun muassa Fourier-käänteismuunnos ja deltafunktion Fourier-muunnos. Alaluvussa 5.2 konvoluutio määritellään jälleen ensin lokaalisti integroituville funktioille, jonka jälkeen määritelmä laajennetaan koskemaan yleistettyjä funktioita. On olennaista huomata, että yleistettyjen funktioiden avaruus on suljettu niin derivoinnin, Fourier-muunnoksen kuin konvoluutionkin suhteen.

Luvussa 6 yhdistetään tutkielmassa aiemmin esille tuotu teoria differentiaaliyhtälöiden ratkaisuihin. Differentiaaliyhtälön heikko ratkaisu voidaan löytää sen perusratkaisun konvoluution avulla. Perusratkaisu taas voidaan selvittää Fourier-muunnoksen ja -käänteismuunnoksen avulla käyttäen hyväksi tulosta deltafunktion Fourier-muunnoksesta. Lopulta siis nähdään, että differentiaaliyhtälöiden ratkaisu yksinkertaistuu ainakin tietyssä mielessä käytettäessä yleistettyjen funktioiden teoriaa.