Ympyrän ja ellipsin ominaisuuksia
Laitinen, Marika (2024)
2024
Teknis-luonnontieteellinen DI-ohjelma - Master's Programme in Science and Engineering
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2024-06-26
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202406247356
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202406247356
Tiivistelmä
Tämän työn tavoitteena on syventää analyyttisen geometrian ymmärrystä perehtymällä ympyrään ja ellipsiin kartioleikkauksina. Tavoitteena on erityisesti tutustua inversiokuvaukseen ympyrän suhteen.
Ympyrä ja ellipsi ovat degeneroitumattomia kartioleikkauksia eli ne ovat suoran ympyräkartion ja tason leikkauspintoja.
Ympyrä ja ellipsi voidaan määrittää erilaisin tavoin. Molemmat voidaan määrittää yleisen kartioleikkauksen nollajoukkona muodostaen tietty toisen asteen yhtälön sopivilla kertoimilla. Ne voidaan myös määrittää pistejoukon geometriaan perustuen. Ympyrän keskipistemuoto pystytään johtamaan, kun tiedetään, että ympyrän pisteet ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä eli keskuksesta. Ellipsin puoliakselimuoto puolestaan pystytään määrittämään johtosuoran ja polttopisteen avulla. Lisäksi molemmat kartioleikkaukset voidaan esittää yhden muuttujan avulla parametrimuodossa. Eri muodoilla voidaan esittää täysin sama pistejoukko.
Kartioleikkauksilla ja suorilla on erilaisia mielenkiintoisia yhteyksiä. Ympyrälle ja ellipsille voidaan määrittää kartioleikkausta sivuava suora, tangetti, kehäpisteen tai ulkopuolella sijaitsevan pisteen kautta. Saman pisteen kahden tangentin leikkauspiste on napa. Napasuora puolestaan kulkee molempien tangenttien ja ympyrän leikkauspisteiden läpi.
Inversio eli peilaus ympyrän suhteen määritetään pisteen ja keskipisteen sekä inversiopisteen ja keskipisteen etäisyyksien suhteena, joka on aina säteen neliö. Pisteen inversio kuvaatutuu takaisin alkuperäiseksi pisteeksi. Napapisteen inversiopiste sijaitsee napasuoralla, kartioleikkauksen sisällä olevan osuuden keskikohdassa.
Inversiossa pisteiden keskenäinen suhde säilyy, mikä tekee pistejoukon inversion tarkastelusta mielekästä. Inversiokeskuksen läpi kulkematon suora kuvautuu inversiokeskuksessa punkteeratuksi ympyräksi. Vastaavasti inversiokeskuksessa punkeerattu ympyrä kuvautuu suoraksi. Inversiokeskuksen leikkaava suora kuvautuu suoraksi itsekseen ja inversiokeskuksen leikkaamaton ympyrä toiseksi ympyräksi.
Ympyrä ja ellipsi ovat degeneroitumattomia kartioleikkauksia eli ne ovat suoran ympyräkartion ja tason leikkauspintoja.
Ympyrä ja ellipsi voidaan määrittää erilaisin tavoin. Molemmat voidaan määrittää yleisen kartioleikkauksen nollajoukkona muodostaen tietty toisen asteen yhtälön sopivilla kertoimilla. Ne voidaan myös määrittää pistejoukon geometriaan perustuen. Ympyrän keskipistemuoto pystytään johtamaan, kun tiedetään, että ympyrän pisteet ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä eli keskuksesta. Ellipsin puoliakselimuoto puolestaan pystytään määrittämään johtosuoran ja polttopisteen avulla. Lisäksi molemmat kartioleikkaukset voidaan esittää yhden muuttujan avulla parametrimuodossa. Eri muodoilla voidaan esittää täysin sama pistejoukko.
Kartioleikkauksilla ja suorilla on erilaisia mielenkiintoisia yhteyksiä. Ympyrälle ja ellipsille voidaan määrittää kartioleikkausta sivuava suora, tangetti, kehäpisteen tai ulkopuolella sijaitsevan pisteen kautta. Saman pisteen kahden tangentin leikkauspiste on napa. Napasuora puolestaan kulkee molempien tangenttien ja ympyrän leikkauspisteiden läpi.
Inversio eli peilaus ympyrän suhteen määritetään pisteen ja keskipisteen sekä inversiopisteen ja keskipisteen etäisyyksien suhteena, joka on aina säteen neliö. Pisteen inversio kuvaatutuu takaisin alkuperäiseksi pisteeksi. Napapisteen inversiopiste sijaitsee napasuoralla, kartioleikkauksen sisällä olevan osuuden keskikohdassa.
Inversiossa pisteiden keskenäinen suhde säilyy, mikä tekee pistejoukon inversion tarkastelusta mielekästä. Inversiokeskuksen läpi kulkematon suora kuvautuu inversiokeskuksessa punkteeratuksi ympyräksi. Vastaavasti inversiokeskuksessa punkeerattu ympyrä kuvautuu suoraksi. Inversiokeskuksen leikkaava suora kuvautuu suoraksi itsekseen ja inversiokeskuksen leikkaamaton ympyrä toiseksi ympyräksi.