Euklidiset alueet
Suomalainen, Noona (2024)
2024
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2024-06-23
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202406197317
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202406197317
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa syvennytään yhteen abstraktin algebran keskeiseen osa-alueeseen: rengasteoriaan, erityisesti euklidisten alueiden käsitteeseen. Tutkielma koostuu neljästä pääluvusta, joista jokainen rakentaa perustan seuraaville ja laajentaa käsitteitä yhä syvemmälle.
Ensimmäisessä luvussa käsitellään rengasteorian peruskäsitteitä ja rakenteita. Luvussa esitellään ryhmien ja renkaiden määritelmät, josta edetään kokonaisalueiden, kuntien, ideaalien ja polynomirenkaiden käsitteisiin.
Toisessa luvussa keskitytään tutkielman pääaiheeseen eli euklidisiin alueisiin. Luvussa esitellään euklidisen alueen käsite ja sen astefunktion ominaisuudet. Näytetään, että euklidisella alueella on ainakin yksi universaali sivutekijä ja että kuntakertoiminen polynomirengas on euklidinen alue. Lisäksi tarkastellaan Gaussin kokonaislukuja ja osoitetaan, että ne muodostavat euklidisen alueen sopivalla astefunktiolla varustettuna. Luvun lopussa esitellään eukleideen algoritmin, joka on tunnettu menetelmä suurimman yhteisen tekijän laskemiseen.
Kolmannessa luvussa käsitellään euklidisen alueen yleistyksiä ja laajennetaan tietämystä euklidisuudesta sekä siihen liittyvästä terminologiasta.
Viimeisessä luvussa tarkastellaan pääideaalialuetta, joka ei ole euklidinen alue. Osoitetaan, että vaikka jokainen euklidinen alue on pääideaalialue, sama ei päde yleisesti toisinpäin.
Ensimmäisessä luvussa käsitellään rengasteorian peruskäsitteitä ja rakenteita. Luvussa esitellään ryhmien ja renkaiden määritelmät, josta edetään kokonaisalueiden, kuntien, ideaalien ja polynomirenkaiden käsitteisiin.
Toisessa luvussa keskitytään tutkielman pääaiheeseen eli euklidisiin alueisiin. Luvussa esitellään euklidisen alueen käsite ja sen astefunktion ominaisuudet. Näytetään, että euklidisella alueella on ainakin yksi universaali sivutekijä ja että kuntakertoiminen polynomirengas on euklidinen alue. Lisäksi tarkastellaan Gaussin kokonaislukuja ja osoitetaan, että ne muodostavat euklidisen alueen sopivalla astefunktiolla varustettuna. Luvun lopussa esitellään eukleideen algoritmin, joka on tunnettu menetelmä suurimman yhteisen tekijän laskemiseen.
Kolmannessa luvussa käsitellään euklidisen alueen yleistyksiä ja laajennetaan tietämystä euklidisuudesta sekä siihen liittyvästä terminologiasta.
Viimeisessä luvussa tarkastellaan pääideaalialuetta, joka ei ole euklidinen alue. Osoitetaan, että vaikka jokainen euklidinen alue on pääideaalialue, sama ei päde yleisesti toisinpäin.