Ensimmäisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt kolmiulotteisessa avaruudessa

Abstract

Tässä työssä perehdytään ensimmäisen asteen kvasilineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen kolmiulotteisessa avaruudessa kahden tunnetun ratkaisumenetelmän avulla. Ensimmäisenä perehdytään usean muuttujan funktion osa-alueisiin, jotka ovat ratkaisumenetelmien rakentamisessa ja ymmärtämisessä välttämättömiä. Erityisesti käydään läpi vektorilaskentaa, sillä moniulotteisten systeemien tutkimisessa tämän osa-alueen hallitseminen on tärkeää. Seuraavaksi määritellään ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, ja jaotellaan nämä ominaisuuksiensa perusteella eri luokkiin. Näistä otetaan tarkasteluun epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokka, kvasilineaariset yhtälöt. Kvasilineaariset differentiaaliyhtälöt ovat fysiikassa yleisesti esiintyviä yhtälöitä, ja niillä on erityisiä käyttökohteita matemaattisessa mallinnuksessa. Näiden yhtälöiden muotoa, käyttötarkoituksia ja ominaisuuksia käsitellään luvussa kolme tarkemmin. Samalla tutkitaan esimerkin avulla osittaisdifferentiaaliyhtälön mahdollisten ratkaisujen olemassaoloa ja määrää muodostamalla differentiaaliyhtälöistä ja alkuehdoista erilaisia Cauchy-ongelmia. Ensimmäisenä ratkaisumenetelmänä esitellään karakteristikoiden menetelmä, joka on yleisesti käytetty ja laajasti toimiva ratkaisumenetelmä. Menetelmä perustuu karakteristikoiksi kutsuttuihin käyriin, joiden avulla saadaan muodostettua tarkasteltavalle ongelmalle ratkaisupinta. Luvussa neljä käydään läpi menetelmän rakentuminen toimivaksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisutavaksi ja testataan menetelmän toimivuutta käytännössä. Lisäksi luvussa tutkitaan tarkemmin ratkaisujen olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä erilaisille Cauchy-ongelmille transversaalisuusehdon avulla. Toisena ratkaisumenetelmänä tutustutaan Lagrangen menetelmään, joka on yksinomaan kvasilineaarisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille muotoutunut ratkaisumenetelmä. Menetelmä perustuu kahden integraalipinnan leikkauksista saataviin ratkaisukäyriin. Viidennessä luvussa käydään läpi menetelmän rakentaminen ja toimintaperiaate. Lagrangen menetelmän toimivuutta kokeillaan tämän jälkeen käytännössä laskemalla yleinen ratkaisu yksinkertaiselle esimerkille. Tämän avulla saadaan havainnollistettua menetelmän etuja, sekä siihen liittyviä epäkohtia.