Ketjumurtoluuvt: henkilöhistoriaa ja teoriaa

Abstract

Tässä pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan äärellisiä ja äärettömiä ketjumurtolukuja sekä Pellin yhtälöä, ja lisäksi esitetään muutamien aiheeseen liittyvien matemaati koiden henkilöhistoriaa.

Alussa tutustutaan Fibonaccin lukuihin ja niiden taustoihin, minkä ohessa esi tellään lyhyesti keskiajan maineikkain matemaatikko, Leonardo Fibonacci. Kolman nessa luvussa käsitellään lineaarisia Diofantoksen yhtälöitä ja niiden ratkaisemista.

Neljännessa luvussa keskitytään äärellisten ja äärettömien ketjumurtolukujen ominaisuuksiin ja konvergentteihin. Aluksi esitellään lyhyesti Srinivasa Ramanujanin ja Rafael Bombellin elämäntarinoita, molemmat matemaatikot liittyvät ketjumurto lukujen historiaan. Sen jälkeen määritellään äärelliset ketjumurtoluvut ja osoitetaan, että mikä tahansa rationaaliluku voidaan esittää yksinkertaisena äärellisenä ketjumur tolukuna. Seuraavaksi tarkastellaan äärellisten ketjumurtolukujen konvergentteja ja havaitaan, että konvergentit vaihtelevat parillisilla ja parittomilla indekseillä siten, että parillisen indeksin konvergentit ovat aina suurempia kuin vastaavat parittoman indeksin konvergentit. Tutustutaan myös matemaatikoihin John Wallis sekä William Brouncker. Ketjumurtoluvut ovat äärettömiä murtolukuesityksiä, jotka käyttävät jat kuvaa jakoa, ja ne mahdollistavat tarkan kuvauksen irrationaaliluvuille. Brounckerin työllä ja myöhemmillä tutkimuksilla on osoitettu, että jokaisella irrationaaliluvulla on yksikäsitteinen ketjumurtolukuesitys. Tämä on johtanut monien ketjumurtolu kujen ominaisuuksien ja niiden suhteeseen irrationaalilukuihin liittyvien tulosten todistamiseen.

Lopuksi tutustutaan matemaatikko John Pelliin sekä määritellään Pellin yhtälön perusratkaisu ja tutkitaan yhtälön kaikkien positiivisten ratkaisujen muodostamista. Tutkielman päälähteenä on käytetty David M. Burtonin teosta "Elementary Number Theory".