Aritmeettinen derivaatta : lukujen derivointia

Abstract

Aritmeettinen derivaatta voidaan määritellä luonnollisille luvuille, kokonaisluvuille, rationaaliluvuille ja irrationaaliluvuille. Tämän lisäksi voidaan määritellä logaritminen derivaatta ja aritmeettinen osittaisderivaatta. Nämä kaikki onnistuvat vaatimalla, että alkuluvun derivaatta on 1 ja että tulon derivointisääntö on voimassa.

Derivaatan määrittelyn jälkeen voidaan määritellä myös integraali. Kuten polynomifunktioidenkin tapauksessa, luvun a integraali on sellainen luku b, jonka derivaatta on a. Integraalien ja derivaattojen avulla on mahdollista myös tutkia ja ratkaista aritmeettisia differentiaaliyhtälöitä. Mielenkiintoisia tutkittavia yhtälöitä ovat yhtälö, jossa luvun derivaatta on yhtä suuri kuin luku itse, yhtälö, jossa luvun derivaatta on jokin kokonaisluku ja yhtälö, jossa luvun toinen derivaatta on 1.

Aritmeettisen derivaatan määritelmää on myös mahdollista laajentaa abstraktimpaan yhteyteen. Tällöin ei ajatella enää välttämättä lukujen jakoa alkulukuihin, vaan alkioiden jakoa 'atomeihin'. Voidaan osoittaa, että jos kokonaisalueessa on yksikäsitteinen tekijöihinjako, niin siinä voidaan määrittää aritmeettinen derivaatta. Toisaalta voidaan antaa esimerkki kokonaisalueesta, jossa ei ole yksikäsitteistä tekijöihinjakoa ja näyttää, että sille ei voi määrittää aritmeettista derivaatta. Vielä ei olla kuitenkaan osoitettu, että aritmeettisen derivaatan määrittely on mahdotonta, jos yksikäsitteistä tekijöihinjakoa ei ole.

Abstraktimman derivaatan avulla on mahdollista määrittää derivaattoja myös muille kuin reaaliluvuille. Tämä onnistuu esimerkiksi Gaussin kokonaisluvuille ja Eisensteinin kokonaisluvuille, sillä niille molemmille löytyy yksikäsitteinen tekijöihinjako. Samoin voidaan käyttää näitä keinoja polynomifunktioiden derivoimiseen, sillä niille on kompleksilukujen joukossa yksikäsitteinen tekijöihinjako algebran peruslauseen nojalla.