Äärellisten ryhmien esityksistä
Jantunen, Tomi (2024)
2024
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2024-06-07
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202405175969
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202405175969
Tiivistelmä
Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee perusteita äärellisten ryhmien esitysteoriasta yli kompleksilukujen kunnan. Ryhmien esitysteoria voidaan nähdä ryhmien tutkimisena lineaarikuvausten ja matriisien avulla. Esitysteoriaa hyödynnetään myös matematiikan ulkopuolella, esimerkiksi kemiassa ja kristallografiassa.
Tutkielman alkupuolella perehdytään ryhmän esityksen erilaisiin määritelmiin ja otetaan näistä esimerkkejä. Erityisesti keskitytään kuuden alkion symmetrisen ryhmän, neliön symmetriaryhmän sekä jäännösluokkaryhmien esityksiin. Permutaatioesityksiin tutustutaan tapana rakentaa ryhmän toiminnan avulla esityksiä. Tämän jälkeen tutkielmassa keskitytään esitysten välisiin homomorfismeihin sekä esitysten perusosasiin, redusoitumattomiin esityksiin. Näihin liittyen todistetaan äärellisten ryhmien esitysteorian tärkeät peruslauseet Schurin lemma ja Maschken lause. Tutkielman loppupuoli keskittyy karakteriteoriaan. Karakteriteoriasta päätuloksena todistetaan kuinka äärellisen ryhmän karakterit muodostavat ortonormaalin kannan kyseisen ryhmän ja kompleksilukujen väliselle funktioavaruudelle. Tutkielman lopuksi rakennetaan muutaman ryhmän karakteritaulu.
Teoria rakennetaan käyttämättä moduleita ja tarvittavat täydennykset lineaarialgebran perusteisin tehdään tutkielman edetessä. Tästä syystä tutkielma on helposti lähestyttävä myös vain lineaarialgebran ja ryhmäteorian perusteet tuntevalle.
Tutkielman alkupuolella perehdytään ryhmän esityksen erilaisiin määritelmiin ja otetaan näistä esimerkkejä. Erityisesti keskitytään kuuden alkion symmetrisen ryhmän, neliön symmetriaryhmän sekä jäännösluokkaryhmien esityksiin. Permutaatioesityksiin tutustutaan tapana rakentaa ryhmän toiminnan avulla esityksiä. Tämän jälkeen tutkielmassa keskitytään esitysten välisiin homomorfismeihin sekä esitysten perusosasiin, redusoitumattomiin esityksiin. Näihin liittyen todistetaan äärellisten ryhmien esitysteorian tärkeät peruslauseet Schurin lemma ja Maschken lause. Tutkielman loppupuoli keskittyy karakteriteoriaan. Karakteriteoriasta päätuloksena todistetaan kuinka äärellisen ryhmän karakterit muodostavat ortonormaalin kannan kyseisen ryhmän ja kompleksilukujen väliselle funktioavaruudelle. Tutkielman lopuksi rakennetaan muutaman ryhmän karakteritaulu.
Teoria rakennetaan käyttämättä moduleita ja tarvittavat täydennykset lineaarialgebran perusteisin tehdään tutkielman edetessä. Tästä syystä tutkielma on helposti lähestyttävä myös vain lineaarialgebran ja ryhmäteorian perusteet tuntevalle.