Basic principles of quantum computing

Abstract

Quantum mechanics has proven its position as the primary theory for accurately describing microscopic domains. Numerous fields in physics utilize quantum mechanics to great effects, with one prominent application being quantum computing. Quantum computing extends the field of quantum mechanics to information theory, striving to perform computational tasks utilizing quantum phenomena with notably greater efficiency compared to classical alternatives. In this thesis, I will go through the basics required in the field of quantum computing.

To understand quantum computing demands adapting a new type of matrix mechanical view. This involves considering Hilbert spaces, which are linear vector space having a well defined inner product. Hilbert spaces contain state vectors describing quantum states, as well as operators for altering and measuring these states. The dynamics of quantum systems are governed by three quantum postulates. These specify Hilbert spaces and state vectors as the fundamental components of quantum systems, Hermitian operators as providing the physical manifestation of these systems, and finally, the Schrödinger's equation to describe the time evolution of such systems. These notions are required in producing quantum computing.

Quantum computing uses qubits as the computational basis, analogous to classical bits but with the added capability of quantum superposition. Qubits are represented as two-state vectors, and can be physically realized with any quantum-behaving binary-valued system, like the electron spins. Qubits can be combined into higher dimensional states with the use of tensor products, causing the system's Hilbert space to expand as 2^n with n being the number of qubits, allowing for exponential computational speedup. Computational logic can be constructed by acting on the qubits using unitary operators, known as quantum gates. The combinations of qubits and quantum gates can be visualized as quantum circuits, depicted using specialized circuit diagram notations.

An essential part of quantum computing, and the phenomena enabling exponential computational speedup, is quantum entanglement. Entanglement arises in interacting qubits, intertwining them so that the individual states become correlated. Entanglement can be characterized by being unable to reduce a combined state into its pure constituents. The amount of entanglement in a system can be measured using von Neumann entropy, analogous to Shannon entropy in classical information theory. Entanglement serves various purposes in quantum computing and is a defining feature distinguishing it from the classical domain.

In this thesis, the entanglement properties of a periodic four-qubit circuit with alternating quantum gates were simulated. The simulation was performed computationally, and measured entanglement entropy as a function of the amount of circuit periods. The results demonstrated different characteristics of entanglement depending on the parameters used for the quantum gates, with the entanglement either being periodic, non-occurring or chaotic in nature.

Kvanttimekaniikka on vakiinnuttanut asemansa ensisijaisena teoriana mikroskooppisten fysiikan ilmiöiden mallintamiseen. Kvanttimekaniikkaa hyödynnetään nykyisin lukuisilla eri fysiikan osa-alueilla, ja tässä opinnäytetyössä tutustutaan näistä kvanttilaskentaan. Kvanttilaskenta laajentaa kvanttimekaniikan periaatteita klassisen informaatioteorian puolelle ja saavuttaa näin suurempia laskentatehoja klassiseen laskentaan verrattuna. Tämä opinnäytetyö esittelee kvanttilaskentaan tarvittavat perusteet, sekä havainnollistaa kvanttilaskennan käyttöä lomittumissimulaation avulla.

Kvanttilaskennan käsittelemiseksi tutustutaan ensiksi matriisimekaniikkaan. Matriisimekaniikka määrittelee Hilbertin avaruuden, eräänlaisen lineaarisen vektoriavaruuden, jolle on määritelty sisätulon käsite. Kvanttimekaniikassa Hilbertin avaruus pitää sisällään tilavektorit, jotka kuvastavat systeemin mahdollisia kvanttitiloja, sekä operaattorit, joilla voidaan muokata tai mitata kyseisiä tiloja. Kvanttisysteemien dynamiikkaa mallinnetaan kolmen postulaatin avulla. Näistä ensimmäinen omaksuu Hilbertin avaruuden käytön laskentaan, toinen määrittelee systeemin fyysiset ominaisuudet Hermiittisten operaattorien avulla, ja kolmas kertoo tilojen aikaevoluution Schrödingerin yhtälöllä. Näitä käsitteitä hyödynnetään kvanttilaskennassa.

Kvanttilaskennassa käytetään laskennan komponentteina kubitteja, jotka ovat kvanttimekaniikan versioita klassisista biteistä. Kubitteja merkitään kaksitasoisilla tilavektoreilla, joita fyysisesti vastaa mikä tahansa kvanttimekaanisesti käyttäytyvä binäärinen systeemi, kuten elektronien spin. Kubitteja voidaan yhdistellä laajaulotteisiksi kokonaisuuksiksi tensoritulon avulla. Tällöin yhdistetyn tilan Hilbertin avaruus kasvaa eksponentiaalisesti suhteessa kubittien lukumäärään, mahdollistaen laskennan eksponentiaalisen nopeutumisen. Varsinainen laskennallinen logiikka toteutetaan kvanttiporttien avulla, joita vastaavat unitaariset operaattorit. Kubitteja ja erilaisia kvanttiportteja yhdistelemällä voidaan rakentaa kvanttipiirejä.

Olennainen osa kvanttilaskentaa, sekä eksponentiaalisen laskentatehon mahdollistava ilmiö, on kvanttilomittuminen. Lomittumista syntyy kubittien vuorovaikutuksessa, jolloin yksittäisten kubittien tilat sekoittuvat ja niistä tulee korreloituja. Lomittuminen voidaan määritellä yhdistettyjen tilojen avulla, sillä jos tilaa ei voida esittää kahden puhtaan tilan tulona, on systeemi lomittunut. Lomittumisen suuruutta mitataan von Neumannin entropian avulla, jota vastaa Shannonin entropia klassisessa informaatiotieteessä.

Tässä opinnäytteessä, lomittumista simuloitiin jaksollisessa, neljästä kubitista ja erityisistä kvanttiporteista koostuvassa kvanttipiirissä. Lomittumisentropiaa mitattiin jaksojen lukumäärän funktiona, josta haluttiin selvittää lomittumisen käyttäytymistä simuloinnin aikana. Lopputuloksena lomittumisen huomattiin riippuvan kvanttiporteille annetuista parametreista, jolloin lomittuminen käyttäytyi joko jaksollisesti, lomittumista ei esiintynyt ollenkaan tai lomittuminen oli luonteeltaan kaoottista.