Periodiset ajasta riippuvat differentiaaliyhtälöt

Abstract

Tämä kandidaatintyö käsittelee lineaarisia periodisia ajasta riippuvia differentiaaliyhtälöitä. Ajasta riippuvien differentiaaliyhtälöiden derivaattafunktioiden kertoimet ovat ajan suhteen muuttuvia funktioita. Periodiset differentiaaliyhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä, jonka kerroinfunktiot ovat periodisia. Ajasta riippuvilla differentiaaliyhtälöillä on monipuolisia sovelluksia muilla tieteen aloilla. Differentiaaliyhtälöistä on mahdollista muodostaa myös differentiaaliyhtälöryhmiä. Kun useasta differentiaaliyhtälöstä kootaan yhtälöryhmä, voidaan tätä kutsua differentiaaliyhtälösysteemiksi. Minkä tahansa kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on mahdollista muuttaa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi. Menetelmä on tärkeä, koska ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä voidaan helposti mallintaa numeerisesti. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemeihin on myös joissain tapauksissa yksinkertaisempaa löytää ratkaisu verrattuna korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöihin. Tutkielmassa esitellään kompakti tapa esittää differentiaaliyhtälön ratkaisuja, sillä ratkaisut voidaan koota yhteen matriisiin. Tätä matriisia kutsutaan fundamentaalimatriisiksi. Fundamentaalimatriiseille ominaista on, että sen sarakkeet ovat keskenään lineaarisesti riippumattomia ja ne toteuttavat differentiaaliyhtälön. Matriisin sarakkeiden lineaarinen riippumattomuus voidaan todistaa esimerkiksi Wronskin determinantin avulla. Työn päätulos on Floquet’n lause. Floquet’n lauseella on monipuolisia sovelluksia esimerkiksi kvanttimekaniikassa. Floquet’n lauseen mukaan periodisten differentiaaliyhtälöiden fundamentaalimatriisiratkaisu voidaan palauttaa vakiokertoimiseen muotoon. Floquet’n vakiokertoimisessa muodossa hyödynnetään eksponenttimatriisia, jonka takia työssä esitellään myös eksponenttimatriisin määritelmä. Tutkielmassa esiteltäviä keskeisiä lauseita on myös ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden lauseet. Näitä lauseita hyödynnetään Floquet’n lauseen esittelyssä ja ovat keskeisiä Floquet’n lauseen todistuksen ymmärtämisen kannalta. Työssä esitellään myös fundamentaalimatriisiratkaisuun liittyviä lauseita, joita hyödynnetään työn päätuloksen todistuksessa.