Mikä on yhtälö? : Peruskoululaisten käsityksiä yhtäsuuruudesta ja yhtälöstä

Abstract

Tässä tutkimuksessa on pyritty selvittämään, millaisia käsityksiä oppilaille muodostuu peruskoulun aikana yhtäsuuruudesta ja yhtälöstä sekä miten oppikirjat painottavat näitä käsitteitä. Tutkimuksessa on selvitetty, miten alakoululaiset ja yläkoululaiset selittävät yhtäsuuruuden ja yhtälön käsitteitä ja sitä, miten oppilaiden käsitykset eroavat toisistaan. Lisäksi pro gradu -tutkielmassa on selvitetty, millaista tietoa oppikirjat antavat oppilaille kyseessä olevista käsitteistä ja sitä miten oppikirjat kehittävät oppilaiden ymmärrystä yhtäsuuruuden ja yhtälön käsitteistä. Työn teoriapohja muodostuu konstruktiivisesta oppimiskäsityksestä, matematiikan oppimisesta ja kielentämisestä sekä yhtäsuuruuden ja yhtälön opettamisesta peruskoulun matematiikassa. Matemaattisen ajattelun kehittäminen ja sen esille tuominen kielentämisen kautta on tärkeää matematiikan oppimisen ja ymmärtämisen kannalta. Matematiikan kielentäminen on tärkeää, koska sen avulla oppilas jäsentää oppimaansa tietoa ensin itselleen ja sen jälkeen muille. Matematiikan oppimisessa oppilaan oma aktiivisuus ja vastuun ottaminen omasta oppimisestaan auttaa oppimaan ja muistamaan paremmin opittuja asioita. Matematiikan oppiminen vaatii matemaattisten taitojen kehittymistä siten, että aikaisempi opittu tieto tai taito auttaa uuden oppimisessa. Tutkimuksen aineistona toimii kyselylomakkeet. Kyselylomakkeeseen saatiin vastaukset yhdeltä kuudesluokalta, yhdeltä kahdeksasluokalta ja yhdeltä yhdeksäsluokalta. Kyselyn vastauksia analysoimalla on selvitetty, millaisia käsityksiä oppilailla on peruskoulun eri vaiheissa yhtäsuuruuden ja yhtälön käsitteistä sekä sitä, millaisia eroavaisuuksia alakoululaisen ja yläkoululaisen käsityksissä on. Tutkimuksen aineiston analysoinnissa on hyödynnetty proseduraalisen ja konseptuaalisen ymmärryksen käsitteitä. Tutkimuksen tuloksista käy ilmi, että aineiston perusteella vain harva oppilas ymmärtää käsittelyssä olleet käsitteet syvällisemmällä tasolla. Tämä ilmenee muun muassa haasteena käsitteiden sanoittamisessa. Oppilaiden vastauksista ilmenee proseduraalinen osaaminen ja vain muutaman oppilaan vastauksissa näkyy konseptuaalinen osaaminen. Jokaisella luokalla oli yksi tai kaksi oppilasta, joiden vastauksissa näkyi tutkittavien käsitteiden syvällisempi ymmärrys. Tuloksista ilmeni myös, että yhtälöiden erottaminen lausekkeista oli oppilaille haastavaa iästä riippumatta, sillä suurin osa tähän tutkimukseen osallistuneista oppilaista sekoitti lausekkeen ja yhtälön käsitteet toisiinsa. Oppilaiden vastauksia analysoitaessa ei ilmennyt huomattavia eroja alakoululaisten ja yläkoululaisten välillä. Kahdeksas- ja yhdeksäsluokkalaisten vastaukset olivat hyvin samanlaisia. Kuudesluokkalaisille oli jo muodostunut käsitys tutkittavista käsitteistä eikä se käsitys eronnut juurikaan yläkoululaisten käsityksistä. Kahdeksas- ja yhdeksäsluokkalaiset olivat osanneet ratkaista paremmin vaikeampia yhtälöitä Työhön sisältyy myös tutkimusaiheeseen liittyvä matematiikkaosio, joka on kirjoitettu lineaarisista Diofantoksen yhtälöistä. Lineaariset Diofantoksen yhtälöt ovat saaneet nimensä kreikkalaisen matemaatikon Diofantoksen mukaan. Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia vähintään kahden muuttujan polynomiyhtälöitä, joilla on vain kokonaislukuratkaisuja. Lineaarinen kahden muuttujan Diofantoksen yhtälö on muotoa ax+by=c. Matematiikkaosiossa määritellään myös käsite suurin yhteinen tekijä, joka liittyy vahvasti lineaaristen Diofantoksen yhtälöihin ja niiden ratkaisemiseen.