Kompleksiset lukujonot ja sarjat

Abstract

Tässä tutkielmassa esitellään kompleksisia lukujonoja ja sarjoja sekä niihin liittyviä määritelmiä sekä lauseita. Aluksi tutustutaan hieman kompleksilukujen historiaan sekä joihinkin niiden käyttötarkoituksiin. Johdannossa esitellään myös lukujonojen sekä sarjojen yleisimpiä sovelluksia. Tutkielman luvuissa edetään kronologisesti ja seuraavassa luvussa käytetään aiempien lukujen tuloksia apuna.

Luvussa 2 esitellään kompleksilukujen määritelmä sekä niiden yleisimpiä laskusääntöjä. Samalla esitellään kompleksiluvun itseisarvon määritelmä, jota käytetään 3 raja-arvon määritelmässä sekä perusominaisuuksien todistamisessa, luvussa 4 itseisen suppenemisen määritelmässä ja siihen liittyvien lauseiden todistamisessa sekä luvussa 5 lauseiden 5.1 ja 5.2 todistamisessa.

Kompleksiset lukujonot esitellään luvussa 3. Alkuun tarkastellaan lukujonojen määritelmää ja kerrotaan niiden perusominaisuuksista. Luvun esimerkeissä pyritään havainnollistamaan kompleksisten lukujonoja esimerkkien avulla.

Kompleksisiin sarjoihin siirrytään luvussa 4. Alkuun esitellään sarjojen määritelmä sekä esitellään sarjan itseinen suppeneminen sekä sarjan itseisen suppenemisen yhteys sarjan suppenemiseen tavallisessa mielessä. Luvussa esitellään myös potenssisarja sekä sarjan suppeneminen sen reaali- ja imaginääriosien suppenemisen avulla, joita käytetään luvussa 5 edelleen lauseiden 5.1 ja 5.2 todistamisen lisäksi myös esimerkissä 5.3.

Luvussa 5 todistetaan majorantti- ja minoranttiperiaate kompleksisille sarjoille sekä annetaan esimerkit niiden käytöstä jollakin mielivaltaisella kompleksisella sarjalla. Alaluvussa 5.3 esitellään kaksi muuta suppenemistestiä; suhdetesti ja n. juuritesti, sekä annetaan esimerkki suhdetesti potenssisarjalle, lisäksi esitellään potenssisarjan suppenemissäde.