Implisiittisten funktioiden derivaatta

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan implisiittisiä funktioita ja niiden derivointia. Tarkemmin sanottuna tutkielmassa esitellään, mitä implisiittinen derivointi on ja mihin se perustuu. Tutkielman tarkoituksena on syventää lukijan derivaatan osaamista koskemaan implisiittisiä funktioita. Lukijalta oletetaan vahvaa yliopistomatematiikan hallintaa derivaatan ja matemaattisen analyysin osalta.

Tutkielmassa esitetään kaksi merkittävää implisiittisten funktioiden derivoinnin lausetta. Näiden lauseiden todistamisessa mainitut lauseet ovat esitetty esitietoina tutkielman toisessa luvussa. Lisäksi esitietoihin on sisällytetty viidennessä luvussa tarvittavia määritelmiä matriisilaskennan tueksi.

Tutkielman virallisen aiheen käsittely alkaa kolmannesta luvusta. Luvussa esitellään yleisesti määritelmien avulla, mitä implisiittisellä derivoinnilla tarkoitetaan ja mihin sitä tarvitaan. Lisäksi luvussa havainnollistetaan implisiittistä derivointia ja sen tarvetta käytännön esimerkkien avulla. Luku keskittyy käsittelemään kahden muuttujan implisiittisiä funktioita, mutta esitetyt määritelmät ovat myös yleistettävissä vielä useamman muuttujan funktioille. Yleisesti luku toimii alustuksena tutkielman myöhemmille luvuille, joissa käydään läpi tarkemmin, miksi implisiittinen derivointi on matemaattisesti mahdollista.

Tutkielman neljäs luku jatkaa kahden muuttujan implisiittisten funktioiden käsittelyä. Luvussa esitellään ja todistetaan Dinin lause, joka perustelee, miksi implisiittinen derivointi on mahdollista kahden muuttujan funktioille. Viidennessä luvussa esitellään ja todistetaan yleinen implisiittisten funktioiden lause, joka yleistää Dinin lauseen koskemaan useamman muuttujan funktioita. Molemmissa luvuissa neljä ja viisi esiteltyjen lauseiden käyttöä havainnollistetaan esimerkkien avulla lukujensa lopussa. Yleisesti luvut tarjoavat kattavan käsityksen implisiittisen derivoinnin teoriasta ja valmiuden laajentaa osaamista aiheen sovellusten pariin.