Neliömatriisien LU-hajotelma

Abstract

Tässä kandidaatintutkielmassa keskitytään ala- ja yläkolmiomatriisien sekä neliömatriisien LU-hajotelman tarkasteluun. Työn tavoitteena on tarjota kattava yleiskatsaus LU-hajotelman muodostamisesta sekä olemassaolosta neliömatriiseille. Työssä esitellään LU-hajotelmassa käytettävät alakolmiomatriisi L ja yläkolmiomatriisi U, LU-hajotelman muodostamiseen tarvittava algoritmi sekä hajotelman olemassaoloon liittyvät lauseet ja niiden todistukset. Lukijalta odotetaan perustietoja matriisilaskennan algebrallisista ominaisuuksista, jotka ovat olennaisia hajotelman ymmärtämiseksi.

Tutkielma jakautuu kahteen käsittelylukuun, joista ensimmäisessä tutustutaan ala- ja yläkolmiomatriisien perusominaisuuksiin. Tässä yhteydessä käsitellään ala- ja yläkolmiomatriisien määritelmiä sekä keskeisiä ominaisuuksia ja esitetään niille todistukset. Ala- ja yläkolmiomatriisit sekä niiden ominaisuudet ja laskutoimitukset ovat tärkeässä roolissa LU-hajotelmaa koskevissa todistuksissa. Tässä tutkielmassa syvennytään näiden matriisityyppien perusominaisuuksien tarkasteluun ja todistetaan, kuinka niiden keskinäinen kertolasku säilyttää kolmiomatriisin rakenteen. Lisäksi työssä todistetaan, että ala- ja yläkolmiomatriisien käänteismatriisit säilyttävät saman matriisityypin.

Toisessa käsittelyluvussa käsitellään LU-hajotelman teoriaa ja sen soveltamista lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisessa. Tutkielmassa esitellään yleinen algoritmi, jonka vaiheita toistamalla LU-hajotelma voidaan muodostaa. Algoritmin käyttöä varten määritellään Gaussin matriisi sekä sen käänteismatriisi, joita algoritmissa hyödynnetään.

Tutkielmassa paneudutaan LU-hajotelman muodostamiseen, olemassaoloon ja sen rajoitteisiin sekä hajotelman yksikäsitteisyyteen. Käytännön sovelluksista työssä esitellään lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu LU-hajotelman avulla. Hajotelmaa hyödyntäen voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä helposti käsin. Tutkielman päätuloksena todistetaan sekä LU-hajotelman olemassaolo kaikille neliömatriseille permutaatiomatriisin P avulla että LU-hajotelman yksikäsitteisyys kääntyville neliömatriiseille hyödyntäen ala- ja yläkolmiomatriiseille todistettuja tuloksia.