Polynomiyhtälöiden ratkaisukaavoista

Abstract

Tämän kandidaatintutkielman aiheena ovat polynomiyhtälöt sekä niiden ratkaistavuus. Kun arkisia reaalimaailman ongelmia halutaan ratkaista yhtälön avulla, voidaan ongelma hyvin usein esittää polynomiyhtälönä, jonka aste on yksi tai kaksi. Esimerkiksi muinaisten sivilisaatioiden, kuten babylonialaisten ja egyptiläisten, maatalouteen liittyvät maapinta-alalaskut olivat tyypillisesti tällaisia. Ratkaisumetodit myös toisen asteen yhtälöille tunnettiin jopa 1600 vuotta ennen ajanlaskumme alkua. Sitä vastoin kolmannen asteen yhtälöt olivat pitkään vähemmän tutkittuja, eikä niiden yleistä ratkaisukaavaa ollut kyetty määrittämään. Tähän tapahtui viimein muutos 1500-luvulla Italiassa, jolloin Girolamo Cardano julkaisi yleisen ratkaisukaavan.

Tässä tutkielmassa käydään läpi näiden kolmenlaisen polynomiyhtälön yleiset ratkaisukaavat, jotka antavat tarkat ratkaisut yhtälöihin, joiden vakiokertoimet tunnetaan. Lisäksi selvitetään kaavojen johtamisen vaiheet. Työssä hyödynnetään erilaisia yhtälönratkaisuun liittyviä algebrallisia menetelmiä, kuten neliöksi täydentäminen sekä muuttujanvaihto. Lisäksi pyritään valaisemaan yhtälönratkaisun historiaa ja hahmottelemaan yleisen ratkaisukaavan merkitystä matemaattisena löytönä.

Ratkaisukaavan monimutkaisuus siirtyessä toisesta asteesta kolmanteen kasvaa huomattavasti. Kaavan ratkaisujen tulkintaa varten on myös välttämätöntä ottaa esiin kompleksilukujen joukko ja esitellä niiden aritmeettiset perusominaisuudet. Tässä työssä on kuitenkin pyritty rajaamaan aihe niin, ettei varsinaista kompleksilukuanalyysiä tarvita. Näin ollen työ on myös historiallisesti johdonmukainen, sillä kompleksianalyysi matematiikan haarana on syntynyt kauan Cardanon tulosten jälkeen.