Mandelbrotin joukko fraktaalina

Abstract

Työssä tutkitaan neliöllisten eli toisen asteen polynomifunktioiden avulla kompleksilukujen joukossa rekursiivisesti määriteltyä Mandelbrotin joukkoa. Mandelbrotin joukolle esitetään itsenäisesti toimiva määritelmä sekä toisen fraktaalin, Julian joukon, avulla kirjoitettu määritelmä. Työ pyrkii vastaamaan matemaattisin keinoin kysymykseen "Mikä tekee Mandelbrotin joukosta fraktaalin?" Jotta kysymykseen onnistuttaisiin vastaamaan, ensin selvitetään, mitä fraktaalit oikein ovat ja mikä on Mandelbrotin joukko.

Fraktaalit ovat monipuolinen joukko matemaattisia olioita. Niille ei ole yksikäsitteistä määritelmää, mutta esimerkiksi lukujoukon tai käyrän voi tunnistaa fraktaaliksi, kun sillä on tiettyjä ominaisuuksia. Näitä ominaisuuksia ovat muun muassa kuvion itsesimilaarisuus ja fraktaalidimension oleminen topologista dimensiota suurempi. Itsesimilaarisuus tarkoittaa kuvion pysymistä muuttumattomana kokomuunnoksen aikana. Näin ollen itsesimilaarinen kuvio toistaa itseään mittakaavan muuttuessa. Työssä tutustutaan fraktaalien ominaisuuksiin esimerkkien kautta.

Mandelbrotin joukko on kompleksilukujen joukko, joka on määritelty toisen asteen polynomin ja iteratiivisen prosessin seurauksena muodostuvan lukujonon avulla. Kyseisessä prosessissa kompleksitasosta valittu luku korotetaan neliöön ja siihen lisätään luku itse, minkä jälkeen rekursiivisen määritelmän mukaan laskutoimituksen tulokselle suoritetaan sama operaatio yhä uudelleen ja uudelleen. Jokaista kompleksilukua kohti muodostuu lukujono, jonka käyttäytymistä tarkkaillaan. Mandelbrotin joukkoon kuuluvat luvut, joilla lukujono ei hajaannu edellä kuvatussa prosessissa. Mandelbrotin joukosta voidaan piirtää laskentaohjelmilla kompleksitasossa kuvia, joista ilmenee, kuuluuko kompleksiluku Mandelbrotin joukkoon ja kuinka nopeasti joukkoon kuulumaton kompleksitason pisteen lukujono hajaantuu, eli kuinka nopeasti lukujonon alkio ylittää itseisarvoltaan arvon kaksi iteraatioprosessissa. Piirrettäessä Mandelbrotin joukko osoittautuu fraktaaleille tyypilliseen tapaan äärettömän yksityiskohtaiseksi.

Julian joukko voidaan ratkaista samantapaisen iteraatioprosessin avulla kuten Mandelbrotin joukko. Ratkaiseminen eroaa siten, että Mandelbrotin joukon ratkaisussa vaihdeltava funktion vakio pidetäänkin kiinnitettynä ja lukujonon ensimmäistä alkiota vaihdellaan. Tästä seuraa, että jokaista kompleksitason pistettä kohti on oma Julian joukko. Yksi työn keskeisistä tuloksista osoittaa Julian joukon olevan yhtenäinen täsmälleen silloin, kun funktion vakio kuuluu Mandelbrotin joukkoon.

Tässä työssä esitellään useita Mandelbrotin joukon ominaisuuksia, joista osa pystytään työn puitteissa todistamaan. Mandelbrotin joukko rajoittuu kaksisäteisen origokeskisen ympyrän sisälle. Origon läheisyydessä on alue, jonka kaikki pisteet kuuluvat Mandelbrotin joukkoon. Mandelbrotin joukko on suljettu, kompakti ja yhdesti yhtenäinen. Mandelbrotin joukko on reaaliakselin suhteen symmetrinen. Lisäksi ilman todistusta esitellään tulos, jonka mukaan Mandelbrotin joukon reunakäyrän Hausdorffin dimensio on kaksi, vaikka sen topologinen dimensio on yksi. Myös tämä ominaisuus on tunnusomainen fraktaaleille.