Flat Covers and Cotorsion in Persistence

Abstract

Homologisen algebran menetelmillä on nykyään tärkeä merkitys topologisessa data-analyysissä. Yksi pääsyy tähän on tarve käyttää resoluutioita ℤ<SUP>n</SUP>-persistenssimodulien rakenteen kuvaamisessa. Tarvitsemme myös diskreettejä invariantteja kuvaamaan ℤ<SUP>n</SUP>-persistenssimoduleita. Tässä väitöskirjassa tutkimme ℤ<SUP>n</SUP>-persistenssimodulien minimaalisia laakeita resoluutioita. Tutkimme lisäksi näiden muotoa käyttämällä invariantteja, joita kutsumme porrastetuiksi Enochs-Xun luvuiksi.

Aluksi esitämme ℤ<SUP>n</SUP>-porrastetun version laakeiden kotorsiomodulien ja minimaalisten laakeiden resoluutioiden teoriasta, jonka Enochs ja Xu kehittivät porrastamattomassa tapauksessa. Tämän jälkeen tutkimme yhteyksiä minimaalisten laakeiden ja injektiivisten resoluutioiden välillä. Erityisesti todistamme, että Matlis duaalin avulla saadaan näiden välille dualiteetti. Osoitamme myös, että porrastetut Enochs-Xun ja Bassin luvut määräävät toisensa.

Esimerkkinä laakeiden kotorsiomodulien teorian hyödyllisyydestä sovellamme sitä lopuksi väli-määrättyihin ℤ<SUP>n</SUP>-persistenssimoduleihin. Nämä ovat yleistys niin kutsutuista äärellisesti määrätyistä ℤ<SUP>n</SUP>-persistenssimoduleista. Yleistämme näitä koskevan Millerin syzygy-lauseen koskemaan väli-määrättyjä ℤ<SUP>n</SUP>-persistenssimoduleita.

Methods from homological algebra have become increasingly important in topological data analysis. One key reason is that we need ways of encoding the structure of ℤ<SUP>n</SUP>-persistence modules in resolutions. We also need discrete invariants to describe ℤ<SUP>n</SUP>-persistence modules. In this thesis, we study minimal flat resolutions of ℤ<SUP>n</SUP>-persistence modules. Moreover, we study invariants we call the graded Enochs-Xu numbers that describe their shape.

We start by adapting the theory of flat cotorsion modules and minimal flat resolutions—which was developed by Enochs and Xu for modules over a non-graded Noetherian ring—to the setting of ℤ<SUP>n</SUP>-persistence modules. We then study connections between minimal flat and injective resolutions. Most notably, we prove a duality between them given by the Matlis duality functor. We also prove that the graded Enochs-Xu and Bass numbers determine each other.

Finally, as an example of the utility of the flat cotorsion theory, we study interval determined ℤ<SUP>n</SUP>-persistence modules, which are a generalization of finitely determined ℤ<SUP>n</SUP>-persistence modules. In particular, we generalize Miller’s syzygy theorem for ℤ<SUP>n</SUP>-modules from finitely determined ℤ<SUP>n</SUP> -persistence modules to interval determined ℤ<SUP>n</SUP>-persistence modules.