Yksiulotteinen lämpöyhtälö säätöongelmana

Abstract

Lämpöyhtälö on oivallinen esimerkkitapaus säätöteorian ja robustin säädön tutkimuksessa. Tässä kandidaatintyössä tarkastellaan yksiulotteisen lämpöyhtälön ratkaisemista ja stabiiliutta. Säätöongelmana on selvittää, miten lämpöyhtälön käyttäytymistä voidaan ohjata, jotta kappaleen paikallinen lämpötila käyttäytyisi halutulla tavalla.

Yksiulotteisen lämpöyhtälön systeemi voidaan fysikaalisessa mielessä ajatella ohuena tankona, jota lämmitetään ja jäähdytetään. Tässä työssä lämmitys toteutetaan toisesta päästä. Lämmitys on systeemissä ohjaus, jolla voidaan vaikuttaa systeemin lämpötilaan. Vastetta, eli paikallista lämpötilaa mitataan samasta pisteestä, jolloin tangon ajatellaan olevan lämmitysja mittauspistettä lukuun ottamatta täysin eristetty. Tällöin yhdessä valitun säädön kanssa ohjaamattoman systeemin reunaehdoiksi saadaan Neumannin reunaehdot, mikä aiheuttaa tekee systeemistä epästabiilin.

Lämpöyhtälön käyttäytymistä voidaan säätää robustilla säätimellä, jotta vaste saadaan seuraamaan haluttua käyttäytymismallia, joka annetaan referenssisignaalin muodossa. Robusti säätö takaa, että säädin toimii häiriöistä ja säätimen epätarkkuuksista huolimatta. Matriiseilla laadittu säädin joudutaan kuitenkin rajoittamaan äärellisiin systeemeihin, eikä esimerkiksi kanttiaaltoa voida seurata matriiseihin perustuvalla säätimellä äärettömän tarkasti. Yksinkertaista sinimuotoista referenssisignaalia voidaan kuitenkin seurata jo dimensioltaan varsin pienillä matriiseilla, mikä onkin tämän työn tavoitteena.

Tässä työssä systeemi stabiloidaan negatiivisella takaisinkytkennällä ja robustilla säätimellä, jossa takaisinkytkentä on osana. Säätimen suunnittelu toteutetaan sisäisen mallin periaatteen mukaisesti sisällyttämällä tavoitellun referenssisignaalin dynamiikkoja säätimeen. Lopuksi säätimen toimintaa demonstroidaan simuloimalla systeemiä suunnitellulla säätimellä.

Lämpöyhtälön tarkastelussa tarvittavia matemaattisia työkaluja ovat muun muassa Fouriersarjat, Laplace-muunnos ja tilaesitysmalli. Lämpötilan jakaumaa voidaan matemaattisesti kuvata Fourier’n sarjojen avulla, kun taas tilaesitys ja siirtofunktio kuvaavat systeemin käyttäytymistä ja stabiiliutta. Myös lämpöyhtälön yleinen ratkaisu havainnollistaa lämpötilan käyttäytymistä ajan funktiona.