Sisätuloavaruudet: reaalisesta kompleksiseen
Peura, Lassi (2023)
2023
Matematiikan ja tilastotieteen kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Mathematics and Statistics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-08-10
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202306276930
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202306276930
Tiivistelmä
Tämä tutkielma käsittelee vektorien välistä sisätuloa sekä reaali- että kompleksiluvuilla. Tutkielman tarkoitus on johdattaa matematiikan kandidaattiopiskelija kompleksilukuperustaiseen lineaarialgebraan.
Työssä lähdetään liikkeelle vektorin normin määrittelemisestä vektoriavaruudessa ℝⁿ. Myöhemmin nähdään, kuinka vektorin normi voidaan määrittää pistetulon avulla. Normin käsittelyn jälkeen päästään itse pistetulon määritelmään ja sen ominaisuuksiin. Ominaisuuksista yksi todistetaan. Kun pistetulon määritelmä ja vektorin normi on esitelty, voidaan niiden avulla määritellä vektorien välinen kulma vektoriavaruudessa ℝⁿ. Huomataan myös, kuinka vektorien välisen kohtisuoruuden todenta miseen voidaan käyttää pelkästään pistetulon arvoa. Lukija voi itse päätellä yhteyden kulman määritelmään. Reaalilukuperustaisessa osiossa todistetaan lisäksi klassiset lauseet: Pythagoraan lause ja Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö.
Tekstissä esitellään pistetuloon liittyen esimerkki, jonka on tarkoitus toimia yhteenvetona läpikäydyistä asioista. Kyseisessä esimerkissä osoitetaan kahden vektorin välinen kohtisuoruus mielivaltaisen moniulottuvuuksisessa vektoriavaruudessa.
Vektoriavaruuden ℂⁿ euklidinen sisätulo pohjustetaan esittelemällä kompleksiluvut ja niiden väliset peruslaskutoimitukset. Lisäksi käydään läpi kompleksilukujen napakoordinaattiesitys. Vektoriavaruuden ℂⁿ vektorien euklidista sisätuloa käsiteltäessä on tarkoitus nähdä sen samankaltaisuudet ja eroavaisuudet vektoriavaruuden ℝⁿ pistetulon kanssa. Tämän vuoksi esimerkillä havainnoillistetaan, miksi vektoriavaruuden ℂⁿ euklidiseen sisätuloon tarvitaan eroava määritelmä pistetuloon nähden.
Viimeiseksi esitellään yleinen sisätulo ainoastaan kompleksiluvuilla. Näin toimitaan, koska reaalilukujen katsotaan sisältyvän kompleksilukuihin. Euklidisen sisätulon aksioomien lisäksi esitellään vektorin normi sekä kahden mielivaltaisen vektorin välinen etäisyys yleisessä sisätuloavaruudessa.
Työssä lähdetään liikkeelle vektorin normin määrittelemisestä vektoriavaruudessa ℝⁿ. Myöhemmin nähdään, kuinka vektorin normi voidaan määrittää pistetulon avulla. Normin käsittelyn jälkeen päästään itse pistetulon määritelmään ja sen ominaisuuksiin. Ominaisuuksista yksi todistetaan. Kun pistetulon määritelmä ja vektorin normi on esitelty, voidaan niiden avulla määritellä vektorien välinen kulma vektoriavaruudessa ℝⁿ. Huomataan myös, kuinka vektorien välisen kohtisuoruuden todenta miseen voidaan käyttää pelkästään pistetulon arvoa. Lukija voi itse päätellä yhteyden kulman määritelmään. Reaalilukuperustaisessa osiossa todistetaan lisäksi klassiset lauseet: Pythagoraan lause ja Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö.
Tekstissä esitellään pistetuloon liittyen esimerkki, jonka on tarkoitus toimia yhteenvetona läpikäydyistä asioista. Kyseisessä esimerkissä osoitetaan kahden vektorin välinen kohtisuoruus mielivaltaisen moniulottuvuuksisessa vektoriavaruudessa.
Vektoriavaruuden ℂⁿ euklidinen sisätulo pohjustetaan esittelemällä kompleksiluvut ja niiden väliset peruslaskutoimitukset. Lisäksi käydään läpi kompleksilukujen napakoordinaattiesitys. Vektoriavaruuden ℂⁿ vektorien euklidista sisätuloa käsiteltäessä on tarkoitus nähdä sen samankaltaisuudet ja eroavaisuudet vektoriavaruuden ℝⁿ pistetulon kanssa. Tämän vuoksi esimerkillä havainnoillistetaan, miksi vektoriavaruuden ℂⁿ euklidiseen sisätuloon tarvitaan eroava määritelmä pistetuloon nähden.
Viimeiseksi esitellään yleinen sisätulo ainoastaan kompleksiluvuilla. Näin toimitaan, koska reaalilukujen katsotaan sisältyvän kompleksilukuihin. Euklidisen sisätulon aksioomien lisäksi esitellään vektorin normi sekä kahden mielivaltaisen vektorin välinen etäisyys yleisessä sisätuloavaruudessa.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [10268]