Choleskyn hajotelma
Rannikko, Vilhelmiina (2023)
2023
Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-06-13
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202306126697
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202306126697
Tiivistelmä
Tämän tutkielman päämääränä on esitellä Choleskyn hajotelma, sen takana olevat lineaarialgebran käsitteet ja teoria sekä asiaan liittyvät hajotelma-algoritmit. Työssä tarkastellaan erilaisia hajotelmia sekä niiden olemassaolon ehtoja, joiden ohessa matriisihajotelmien teoriaa laajennetaan käsittelemään symmetrisiä ja positiivisesti definiittejä tapauksia.
Tutkielman tuloksena on todistus siitä, että symmetriselle ja positiivisesti definiitille matriisille A on mahdollista muodostaa Choleskyn hajotelma A=GGᵀ, missä A ilmaistaan toisen matriisin ja sen transpoosin tulona. Tulokseen päädytään käsittelemällä ensin reaalisten neliömatriisien LU-hajotelma sekä sen olemassaolo, joista seuraten LU-hajotelma voidaan uudelleenkirjoittaa LDMᵀ-hajotelmaksi. Työssä myös todistetaan LDMᵀ-hajotelman muokkautuvuus LDLᵀ-hajotelmaksi symmetristen reaalimatriisien tapauksessa. Työssä avataan positiivisesti definiittien matriisien teoria, ja todistetaan Choleskyn hajotelmalle olennaiset positiivisesti definiittien matriisien ominaisuudet. Positiivisesti definiitin matriisin tapauksessa hajotelman diagonaalimatriisi D pitää todistusten mukaisesti sisällään vain positiivisia diagonaalialkioita, jolloin se voidaan hajottaa kahden diagonaalimatriisin tuloksi. Lopputuloksena hajotelma saadaan sievennettyä muotoon LDLᵀ=GGᵀ.
Choleskyn kolmioksi kutsuttu matriisi G voidaan ratkaista myös rekursiivisesti käyttämällä hyödyksi matriisin A blokkijaottelua. Soveltamalla matriisien ja vektoreiden välisiä laskusääntöjä voidaan selvittää matriisi Ã, joka on laskettu matriisin A alimatriisin  sekä matriisin A Choleskyn kolmion reunavektoreiden avulla. Laskemiseen käytettyä algoritmia toistetaan matriisille Ã, kunnes koko Choleskyn kolmio on ratkaistu. Nämä laskenta-algoritmit on esitelty työn viimeisessä luvussa.
Työn pohjalla on teoria symmetristen matriisien sekä diagonaalimatriisien ominaisuuksista. Olennaista on myös erilaiset kolmiomatriisit sekä niiden ainutlaatuiset ominaisuudet, joiden kautta erilaisia hajotelmia on mahdollista muodostaa.
Tutkielman tuloksena on todistus siitä, että symmetriselle ja positiivisesti definiitille matriisille A on mahdollista muodostaa Choleskyn hajotelma A=GGᵀ, missä A ilmaistaan toisen matriisin ja sen transpoosin tulona. Tulokseen päädytään käsittelemällä ensin reaalisten neliömatriisien LU-hajotelma sekä sen olemassaolo, joista seuraten LU-hajotelma voidaan uudelleenkirjoittaa LDMᵀ-hajotelmaksi. Työssä myös todistetaan LDMᵀ-hajotelman muokkautuvuus LDLᵀ-hajotelmaksi symmetristen reaalimatriisien tapauksessa. Työssä avataan positiivisesti definiittien matriisien teoria, ja todistetaan Choleskyn hajotelmalle olennaiset positiivisesti definiittien matriisien ominaisuudet. Positiivisesti definiitin matriisin tapauksessa hajotelman diagonaalimatriisi D pitää todistusten mukaisesti sisällään vain positiivisia diagonaalialkioita, jolloin se voidaan hajottaa kahden diagonaalimatriisin tuloksi. Lopputuloksena hajotelma saadaan sievennettyä muotoon LDLᵀ=GGᵀ.
Choleskyn kolmioksi kutsuttu matriisi G voidaan ratkaista myös rekursiivisesti käyttämällä hyödyksi matriisin A blokkijaottelua. Soveltamalla matriisien ja vektoreiden välisiä laskusääntöjä voidaan selvittää matriisi Ã, joka on laskettu matriisin A alimatriisin  sekä matriisin A Choleskyn kolmion reunavektoreiden avulla. Laskemiseen käytettyä algoritmia toistetaan matriisille Ã, kunnes koko Choleskyn kolmio on ratkaistu. Nämä laskenta-algoritmit on esitelty työn viimeisessä luvussa.
Työn pohjalla on teoria symmetristen matriisien sekä diagonaalimatriisien ominaisuuksista. Olennaista on myös erilaiset kolmiomatriisit sekä niiden ainutlaatuiset ominaisuudet, joiden kautta erilaisia hajotelmia on mahdollista muodostaa.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [8683]