Alkeisfunktiot differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan alkeisfunktioita differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina. Tarkastelussa olevat alkeisfunktiot ovat luonnollinen logaritmi, eksponenttifunktiot, trigonometrisistä funktioista sini ja kosini sekä niiden käänteisfunktiot arkussini ja -kosini. Tarkoituksena on antaa lukijalle käsitys siitä, miten edellä mainitut alkeisfunktiot käyttäytyvät differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina. Lukijalta edellytetään peruslaskutoimitusten osaamista ja perustietoja sekä alkeisfunktioista että differentiaalilaskennasta.

Alkeisfunktio on jokin yhden muuttujan funktio, joka voidaan muodostaa esimerkiksi käyttämällä alkeisoperaationa kertolaskua, korottamalla potenssiin tai ottamalla käänteisfunktio. Differentiaaliyhtälö puolestaan on yhtälö, jossa esiintyy sekä tuntematon funktio että sen derivaatta tai derivaattoja.

Tutkielman alussa esitellään perusongelmat: logaritminen ja trigonometrinen differentiaaliyhtälö. Lisäksi toisen luvun esitiedoissa määritellään tutkielman kannalta tärkeitä lauseita, joita hyödynnetään alkeisfunktioihin liittyvien lauseiden todistamisessa. Näitä ovat ketjusääntö, identiteettikriteeri, väliarvolause, käänteisfunktion derivaatta ja Arkhimedeen ominaisuus. Näiden todistamiset sivuutetaan, sillä ne eivät ole relevantteja tutkielman kannalta.

Kolmannessa luvussa tarkastellaan luonnollista logaritmia ja eksponenttifunktioita. Eksponenttifunktiot on muodostettu vakioiden tuloilla ja potenssiin korottamalla, kun taas logaritmifunktiot ovat eksponenttifunktioiden käänteisfunktioita. Luvussa esitellään, millaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja nämä alkeisfunktiot ovat. Halutut alkeisfunktiot saadaan johdettua differentiaaliyhtälöistä, minkä lisäksi esitellään yhdistetyn funktion derivaatat luonnolliselle logaritmille ja eksponenttifunktioille.

Neljännessä luvussa käsitellään trigonometrisistä funktioista kosinia ja siniä painottaen näiden differentiaaliyhtälöesityksiä. Lisäksi käsittelyssä on kolme tärkeää trigonometristä identiteettiä: Pythagoraan identiteetti, sinin summakaava ja kosinin summakaava. Viimeisessä luvussa johdetaan derivaatat sinin ja kosinin käänteisfunktioille, jotka ovat nimeltään arkussini ja arkuskosini. Lisäksi luvussa käydään läpi yksi esimerkki arkussinistä ja -kosinista.