Homogeenisen ja vakiokertoimisen differentiaaliyhtälöryhmän yleinen ratkaisu

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä ensimmäisen kertaluvun lineaaristen, homogeenisten ja vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöryhmien kaksi ratkaisumenetelmää ja määritellä yhtälöryhmän yleinen ratkaisu yksittäisten ratkaisujen avulla. Ei-defektiivisen matriisin tapauksessa ratkaisumenetelmänä toimii ominaisarvomenetelmä, kun taas defektiivisen matriisin tapauksessa ratkaisumenetelmä on Jordanin ketjut. Kirjoitelman alussa perehdytään ratkaisumenetelmien tarkastelun kannalta tärkeisiin matriisiteorian tuloksiin ja käsitteisiin. Teoriaa ja tuloksia havainnollistetaan työssä monipuolisten esimerkkien avulla.

Työssä tarkastelu on rajattu homogeenisiin ja vakiokertoimisiin differentiaaliyhtälöryhmiin, jotka voidaan esittää matriisiyhtälönä x'(t)=Ax(t). Tutkielmassa määritellään matriisiyhtälön yksittäinen ratkaisu, jonka avulla voidaan esitellä tarpeelliset lauseet ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä sekä ryhmän yleisestä ratkaisusta. Tuloksena saadaan, että yleinen ratkaisu on lineaarisesti riippumattomien yksittäisten ratkaisujen lineaarikombinaatio.

Ominaisarvomenetelmä on ratkaisumenetelmä tilanteissa, joissa matriisiyhtälön kerroinmatriisi A on ei-defektiivinen. Tällöin kaikki kerroinmatriisin A ominaisarvot ovat täydellisiä, eli jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku vastaa sen algebrallista kertalukua. Työssä todistetaan lause, jonka tuloksena saadaan reaaliarvoista täydellistä ominaisarvoa vastaava yksittäinen ratkaisu. Tutkielmassa johdetaan myös tulos, jonka mukaan täydellisen kompleksisen ominaisarvon konjugaattiparia vastaa kaksi reaaliarvoista yksittäistä ratkaisua. Nämä reaaliarvoiset ratkaisut saadaan hyödyntämällä täydellisen reaaliarvoisen ominaisarvon yksittäisen ratkaisun yhtälöä sekä Eulerin kaavaa.

Kun kerroinmatriisin A ominaisarvoista osa tai kaikki eivät ole täydellisiä, on kerroinmatriisi A defektiivinen ja ratkaisumenetelmänä on Jordanin ketjut. Tällöin kerroinmatriisin A ominaisarvon geometrinen kertaluku on pienempi kuin sen algebrallinen kertaluku, ja ominaisarvoon liittyy Jordanin ketju. Työssä määritellään Jordanin ketjun olevan ominaisvektorista alkava ketju, joka koostuu ominaisvektorin lisäksi yleistetyistä ominaisvektoreista. Työssä annetaan määritelmä myös yleistetyille ominaisvektoreille, joiden avulla yhtälöryhmälle saadaan tarvittava määrä yksittäisiä ratkaisuja. Lisäksi esitellään lause, jonka tuloksena saadaan yleistettyjä ominaisvektoreita vastaavat lineaarisesti riippumattomat yksittäiset ratkaisut.