Lagrangen menetelmä ja Kuhn-Tuckerin ehdot: Optimointi taloustieteissä
Tiensuu, Taru (2023)
2023
Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-04-26
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202304204020
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202304204020
Tiivistelmä
Matemaattisessa optimoinnissa etsitään parasta ratkaisua kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta. Optimoinnin tavoitteena voi olla esimerkiksi yrityksen taloudellisen tuloksen maksimointi, hävikin minimointi tai sijoitusstrategian optimointi. Usein tällaisissa tilanteissa tulee ottaa huomioon mahdollisiin ratkaisuihin vaikuttavat resurssit, kuten budjetti. Tässä kandidaatintyössä esitellään kaksi menetelmää yhtälörajoitetun optimointitehtävän ratkaisemiseksi: Lagrangen menetelmä sekä sen laajennus epäyhtälöehtoihin Kuhn-Tuckerin ehtojen avulla. Molemmissa menetelmissä optimointitehtävä esitetään Lagrangen funktiona, jonka avulla muodostetaan tarvittavat yhtälöt sekä selvitetään optimointitehtävän ratkaisu. Tässä työssä esiteltävien menetelmien merkittävimmät hyödyt saavutetaan optimointitehtävien ratkaisemisessa niin, ettei eksplisiittinen parametrisointi ehtofunktioiden suhteen ole tarpeellista.
Tässä kandidaatintyössä määritellään aluksi usean muuttujan peruskäsitteitä, kuten osittaisderivaatta ja gradientti. Lisäksi tarkastellaan, mitä vaaditaan usean muuttujan funktion ääriarvokohdalta ja mitä puolestaan satulapisteeltä sekä esitellään ylöspäin kupera usean muuttujan funktio. Matemaattisia taustatietoja soveltaen esitetään Lagrangen menetelmän ja Kuhn-Tuckerin ehtojen teoriat. Lagrangen menetelmän teoria esitellään aluksi kahden muuttujan funktion ääriarvojen löytämiseksi yhdellä ehtoyhtälöllä, jonka jälkeen esitetään yleinen menetelmä. Työssä havainnollistetaan sekä Lagrangen menetelmän että Kuhn-Tuckerin ehtojen tulkintoja myös geometrisesti. Lisäksi esitetään Kuhn-Tuckerin ehtojen yhteys Lagrangen funktion satulapisteeseen.
Matemaattisen teorian lisäksi tässä kandidaatintyössä esitellään muutamia menetelmien sovelluskohteita taloustieteiden näkökulmasta. Lagrangen menetelmää sovelletaan kuvitteellisen yrityksen tulosfunktion maksimointiin budjetti huomioon ottaen. Kuhn-Tuckerin ehtoja puolestaan sovelletaan niin ikään tulosfunktion maksimointiin kahdessa esimerkkitilanteessa, joista toisessa yrityksen hinnoittelu perustuu kysyntään ja toisessa monopoliyrityksen toimintaa säännellään.
Tässä kandidaatintyössä määritellään aluksi usean muuttujan peruskäsitteitä, kuten osittaisderivaatta ja gradientti. Lisäksi tarkastellaan, mitä vaaditaan usean muuttujan funktion ääriarvokohdalta ja mitä puolestaan satulapisteeltä sekä esitellään ylöspäin kupera usean muuttujan funktio. Matemaattisia taustatietoja soveltaen esitetään Lagrangen menetelmän ja Kuhn-Tuckerin ehtojen teoriat. Lagrangen menetelmän teoria esitellään aluksi kahden muuttujan funktion ääriarvojen löytämiseksi yhdellä ehtoyhtälöllä, jonka jälkeen esitetään yleinen menetelmä. Työssä havainnollistetaan sekä Lagrangen menetelmän että Kuhn-Tuckerin ehtojen tulkintoja myös geometrisesti. Lisäksi esitetään Kuhn-Tuckerin ehtojen yhteys Lagrangen funktion satulapisteeseen.
Matemaattisen teorian lisäksi tässä kandidaatintyössä esitellään muutamia menetelmien sovelluskohteita taloustieteiden näkökulmasta. Lagrangen menetelmää sovelletaan kuvitteellisen yrityksen tulosfunktion maksimointiin budjetti huomioon ottaen. Kuhn-Tuckerin ehtoja puolestaan sovelletaan niin ikään tulosfunktion maksimointiin kahdessa esimerkkitilanteessa, joista toisessa yrityksen hinnoittelu perustuu kysyntään ja toisessa monopoliyrityksen toimintaa säännellään.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [10747]