Kompleksisten potenssisarjojen teoriaa

Abstract

Potenssisarjat ovat hyödyllinen työkalu matematiikassa ja niillä on monia sovelluskohteita fysiikassa sekä insinööritieteissä. Yleisin sovelluskohde potenssisarjoille on funktion approksimointi pisteessä. Tämän lisäksi niitä hyödynnetään esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa sekä integraalien arvioimisessa. Potenssisarjat luovat myös pohjan kompleksianalyysille.

Tämä kandidaatintyö syventää lukijan tietämystä kompleksitermisten potenssisarjojen teoriasta. Lukijalta odotetaan entuudestaan kompleksianalyysin perusteiden, kuten kompleksiseen integraaliin liittyvien asioiden tuntemusta. Teoriaa käsitellään työssä matemaattisesti täsmällisesti, mutta sitä selvennetään esimerkein ja sovelluksin. Esimerkiksi tasaisen suppenemisen käsitteeseen perehdytään tarkasti, joten työ voikin täydentää aiheeseen liittyvän aineopintotasoisen kurssin sisältöjä.

Teoriaa lähestytään määrittelemällä aluksi tasaisen suppenemisen käsite funktiojonoille, jonka jälkeen se voidaan ottaa käyttöön myös funktiosarjoille. Tasainen suppeneminen on tavallista pisteittäistä suppenemista vahvempi ehto ja funktiosarjoille voidaan esittää hyödyllisiä tuloksia sen avulla. Funktiosarjan tasaisen suppenemisen tutkimista varten työssä esitellään Weierstrassin M-testi.

Kompleksitermisen potenssisarjan suppenemissäde määrää kompleksitasossa kiekon eli niin sanotun suppenemisalueen, jonka pisteissä potenssisarja suppenee. Työssä esiteltävä Cauchy-Hadamardin lause antaa kaavan suppenemissäteen määrittämiseksi ja todistaa sen olemassaolon.

Työssä osoitetaan derivoituvuuden määritelmää käyttäen, että potenssisarjaa esittävä funktio on analyyttinen suppenemisalueessaan. Näin saadun potenssisarjan derivaatan havaitaan olevan itsessään myös potenssisarja, jonka suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen. Todetaan, että induktiolla voidaan osoittaa potenssisarjan olevan äärettömän monta kertaa termeittäin derivoituva suppenemisalueessaan. Tuloksen avulla työssä johdetaan potenssisarjan kertoimille riippuvuus funktion derivaatoista.

Cauchyn integraalikaavan ja tasaisen suppenemisen avulla työssä osoitetaan, että analyyttinen funktio voidaan esittää yksikäsitteisen Taylorin sarjakehitelmän avulla. Lukijalle esitetään, miten Taylorin sarjakehitelmä voidaan muodostaa useilla eri tavoilla. Luonnollisesti määritelmän mukaan sarjan kertoimet saadaan funktion derivaattojen avulla, mutta lisäksi työssä tutustutaan Taylorin sarjan muodostamiseen geometrisen sarjan sekä jonkin entuudestaan tunnetun sarjan avulla. Tunnetun sarjan derivaattaa tai integraalia on myös mahdollista hyödyntää muodostamisessa. Työn lopuksi esitellään muutama sovelluskohde Taylorin sarjoille.