Matriisien LU-hajotelma
Elo, Matilda (2023)
2023
Matematiikan ja tilastotieteen kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Mathematics and Statistics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-04-10
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202304173815
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202304173815
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa käsitellään matriiseihin liittyviä peruskäsitteitä sekä esitellään yksi matriisihajotelmista, nimeltään LU-hajotelma. Tutkittava matriisi voidaan esittää kahden muun kolmiomatriisin tulona. Jotta LU-hajotelma pystytään luomaan, tarvitaan perustavanlaatuista tietämystä eri matriiseista ja niiden käyttäytymisestä. Tutkielmassa panostetaan matriiseihin liittyvien käsitteiden ymmärtämiseen ainoastaan neliömatriiseja tutkien. LU-hajotelman löytäminen on hyvin mekaanista ja laskennallisesti yksinkertaista, jonka takia tutkielma sisältää paljon teoreettista pohjatietoa. Löydettäessä LU-hajotelma on hyödyllistä osata soveltaa sitä yhtälöryhmien ratkaisuun. Tutkielma sisältää paljon esimerkkejä teorian rinnalle. Rakenteeltaan tutkielma rakentuu kolmesta käsittelyluvusta sekä johdannosta. Esitiedoissa esitellään tärkeitä matriiseja ja käsitteitä, joiden pohjalta LU-hajotelman löytäminen onnistuu. Käsitteitä havainnollisestaan määritelmin ja esimerkein. Ensimmäisessä käsittelyluvussa esitellään diagonaali-, identiteetti- ja kolmiomatriisit sekä symmetriset matriisit ja niiden kääntyvyys. Esitiedot eivät sisällä laskennallisia asioita, vaan esittelee teoriaa.
Toinen käsittelyluku esittelee laajasti alkeismatriisit, joiden ymmärtäminen ja oivaltaminen auttaa laskennallisesti LU-hajotelman löytämistä. Tutkielmassa esitellään eri rivioperaatiot ja niiden käyttäminen neliömatriiseissa. Rivioperaatioita hyödyntämällä saadaan redusoitu riviporrasmuoto, joka esitellään myös toisessa käsittelyluvussa.
Viimeisessä käsittelyluvussa mennään LU-hajotelmiin ja niiden soveltamiseen. LU-hajotelmista on paljon hyötyä, jos niitä osataan soveltaa lineaarisiin yhtälöryhmiin. Viimeinen käsittelyluku on laskennallisesti vaikein siinä mielessä, että se sisältää monia eri osia. Laskut eivät itsessään ole haastavia. Aiempien lukujen sisällön oivaltaminen auttaa havainnollistamaan ja ymmärtämään laskuja. Viimeisessä aliluvussa esitellään lyhyesti myös symmetristen matriisien LU-hajotelma.
Lukijalta odotetaan lineaarialgebran perusteiden osaamista, joita myös kerrataan tässä tutkielmassa. Vaikka teoria ja laskut ovat helppoja, luo LU-hajotelman käytäntöön soveltaminen oman haasteensa.
Toinen käsittelyluku esittelee laajasti alkeismatriisit, joiden ymmärtäminen ja oivaltaminen auttaa laskennallisesti LU-hajotelman löytämistä. Tutkielmassa esitellään eri rivioperaatiot ja niiden käyttäminen neliömatriiseissa. Rivioperaatioita hyödyntämällä saadaan redusoitu riviporrasmuoto, joka esitellään myös toisessa käsittelyluvussa.
Viimeisessä käsittelyluvussa mennään LU-hajotelmiin ja niiden soveltamiseen. LU-hajotelmista on paljon hyötyä, jos niitä osataan soveltaa lineaarisiin yhtälöryhmiin. Viimeinen käsittelyluku on laskennallisesti vaikein siinä mielessä, että se sisältää monia eri osia. Laskut eivät itsessään ole haastavia. Aiempien lukujen sisällön oivaltaminen auttaa havainnollistamaan ja ymmärtämään laskuja. Viimeisessä aliluvussa esitellään lyhyesti myös symmetristen matriisien LU-hajotelma.
Lukijalta odotetaan lineaarialgebran perusteiden osaamista, joita myös kerrataan tässä tutkielmassa. Vaikka teoria ja laskut ovat helppoja, luo LU-hajotelman käytäntöön soveltaminen oman haasteensa.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [10016]