Alkuluvuista
Lyyra, Janetta (2023)
Lyyra, Janetta
2023
Matematiikan ja tilastotieteen kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Mathematics and Statistics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-03-21
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202303213046
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202303213046
Tiivistelmä
Tutkielmassa tarkastellaan alkulukuja ja perehdytään viiteen erilaiseen alkuluvun sovellukseen. Tutkielma hyödyntää esimerkkejä määritelmien sekä lauseiden esittelyssä.
Alkulukujen määritelmän yhteydessä esitetään Eratostheneen seula, jonka avulla voidaan etsiä alkulukuja. Luvussa näytetään, miten lukua 100 pienemmät alkuluvut on mahdollista löytää kyseisen seulan avulla. Tarkastellaan myös alkulukujen määrän äärettömyyttä, joka todistetaan käyttämällä tunnettua Eukleideen todistusta.
Tutkielman toinen osa käsittelee viittä erilaista alkuluvun sovellusta. Ensimmäinen sovellus on aritmetiikan peruslause. Se väittää, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona. Tässä yhteydessä esitetään suurin yhteinen tekijä ja miten se voidaan määrittää alkutekijähajotelman avulla. Lisäksi määritellään suhteellinen alkuluku, luvun tekijöiden summa sekä tekijöiden lukumäärä ja multiplikatiivinen funktio.
Toisena sovelluksena on Mersennen luvut. Sen yhteydessä tarkastellaan Lucas-Lehmerin testiä, jonka avulla voidaan selvittää, onko Mersennen luku alkuluku. Samalla tutustutaan myös kirjoitushetkellä suurimpaan tunnettuun alkulukuun. Mersennen lukuihin on sidoksissa tutkielman kolmas sovellus, joka on Täydelliset luvut. Tutkielmassa todistetaan parillisen täydellisen luvun esitysmuoto sekä näytetään esimerkkien avulla muutamia täydellisiä lukuja.
Neljäntenä sovelluksena käsitellään alkulukujen etäisyyksiin liittyviä alkulukukaksosia, -serkkuja sekä -kolmikkoa ja viidentenä sovelluksena on Goldbachin konjektuurit. Vahva Goldbachin konjektuuri väittää, että jokainen lukua 2 suurempi parillinen kokonaisluku voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun tai luvun 1 summana. Heikko Goldbachin konjektuuri puolestaan väittää, että jokainen lukua 5 suurempi pariton kokonaisluku voidaan esittää kolmen alkuluvun summana. Sekä alkulukukaksoset, -serkut ja -kolmikot että Goldbachin konjektuurit esitellään määritelmien ja esimerkkien avulla.
Alkulukujen määritelmän yhteydessä esitetään Eratostheneen seula, jonka avulla voidaan etsiä alkulukuja. Luvussa näytetään, miten lukua 100 pienemmät alkuluvut on mahdollista löytää kyseisen seulan avulla. Tarkastellaan myös alkulukujen määrän äärettömyyttä, joka todistetaan käyttämällä tunnettua Eukleideen todistusta.
Tutkielman toinen osa käsittelee viittä erilaista alkuluvun sovellusta. Ensimmäinen sovellus on aritmetiikan peruslause. Se väittää, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona. Tässä yhteydessä esitetään suurin yhteinen tekijä ja miten se voidaan määrittää alkutekijähajotelman avulla. Lisäksi määritellään suhteellinen alkuluku, luvun tekijöiden summa sekä tekijöiden lukumäärä ja multiplikatiivinen funktio.
Toisena sovelluksena on Mersennen luvut. Sen yhteydessä tarkastellaan Lucas-Lehmerin testiä, jonka avulla voidaan selvittää, onko Mersennen luku alkuluku. Samalla tutustutaan myös kirjoitushetkellä suurimpaan tunnettuun alkulukuun. Mersennen lukuihin on sidoksissa tutkielman kolmas sovellus, joka on Täydelliset luvut. Tutkielmassa todistetaan parillisen täydellisen luvun esitysmuoto sekä näytetään esimerkkien avulla muutamia täydellisiä lukuja.
Neljäntenä sovelluksena käsitellään alkulukujen etäisyyksiin liittyviä alkulukukaksosia, -serkkuja sekä -kolmikkoa ja viidentenä sovelluksena on Goldbachin konjektuurit. Vahva Goldbachin konjektuuri väittää, että jokainen lukua 2 suurempi parillinen kokonaisluku voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun tai luvun 1 summana. Heikko Goldbachin konjektuuri puolestaan väittää, että jokainen lukua 5 suurempi pariton kokonaisluku voidaan esittää kolmen alkuluvun summana. Sekä alkulukukaksoset, -serkut ja -kolmikot että Goldbachin konjektuurit esitellään määritelmien ja esimerkkien avulla.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [8709]