Näennäisalkuluvut

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä pseudo- eli näennäisalkulukujen erilaisia määritelmiä ja sitä, miten nämä määritelmät liittyvät lukuteorian perustavanlaatuisiin käsitteisiin, kuten jaollisuuteen. Tutkielmassa rajataan laajuussyistä ulos aihetta koskevat käytännön sovellukset. Teoksen lähdeaineistona käytetään kahta oppikirjalähdettä.

Tutkielman toinen luku sisältää aiheen kannalta olennaiset esitiedot. Lukuteorian käsitteistä esitellään jaollisuuden, suurimman yhteisen tekijän, alkuluvun, kongruenssin sekä Diofantoksen yhtälön ratkaisujen määritelmät. Jaollisuuden, kongruenssin sekä Diofantoksen yhtälön ratkaisujen osalta esitellään myöhemmin tarvittavia lauseita todistuksineen. Lukuteorian lisäksi esitiedoissa käsitellään havainnollistavina keinoinamyös logiikan perustavanlaatuisia käsitteitä, kuten välttämättömän ehdon (implikaation) sekä välttämättömän ja riittävän ehdon (ekvivalenssin) määritelmät.

Tutkielman kolmannessa luvussa esitellään eräs alkulukuja koskeva välttämätön ja riittävä ehto, Wilsonin lause, sekä todistetaan, että lause on todella yhtäpitävä sen kanssa, että tarkasteltava luku on alkuluku. Wilsonin lauseesta annetaan yksittäinen esimerkki, jota hyödynnetään todistuksen havainnollistamisessa. Tämän jälkeen esitellään eräs alkulukuja koskeva välttämätön ehto, Fermat’n pieni lause, sekä todistetaan, että alkuluvut toteuttavat kyseisen ehdon, mutta ettei lauseen toteutumisesta seuraa, että tarkasteltava luku olisi välttämättä alkuluku. Luvussa todistetaan lisäksi, että Fermat’n pienessä lauseessa tarkoitettu ehto voidaan esittää vaihtoehtoisessa muodossa, jota hyödynnetään esimerkiksi näennäisalkuluvun määritelmässä.

Tutkielman neljännessä ja viimeisessä luvussa käsitellään nimenomaan näennäisalkulukuja. Luvussa esitellään kolme erilaista näennäisalkuluvun tyyppiä: (Fermat’n) näennäisalkuluvut, näennäisalkuluvut kantaluvun a suhteen sekä absoluuttiset näennäisalkuluvut eli Carmichaelin luvut. Kaikista näennäisalkulukutyypeistä annetaan esimerkit, ja erityisesti absoluuttisten näennäisalkulukujen osalta myös todistetaan, millä ominaisuuksilla tällaiset luvut voidaan löytää.