Kuvauksen jatkuvuus metrisessä ja topologisessa avaruudessa
Pörhölä, Ville (2023)
Pörhölä, Ville
2023
Matematiikan ja tilastotieteen kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Mathematics and Statistics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-03-07
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202303072784
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202303072784
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa käsitellään kuvauksen jatkuvuutta metrisessä ja topologisessa avaruudessa. Tutkielman tarkoitus on erityisesti tarkastella jatkuvuuden käsitettä ja määritelmiä useilla eri abstraktiotasoilla, mutta se voi myös toimia luonnollisena johdatuksena topologiaan. Kaikki määritelmät ja tulokset pyritään yhdistämään niitä vastaaviin intuitiivisiin käsitteisiin.
Metrinen avaruus on joukko, jossa on määritelty kahden alkion välinen etäisyys. Metrisistä avaruuksista esitellään muutama esimerkki, joiden avulla havainnollistetaan myöhemmin esiteltäviä käsitteitä sekä tuloksia. Lisäksi määritellään avoimet ja suljetut joukot, ja laajennetaan jatkuvuuden käsite reaalisista funktioista metristen avaruuksien välisiin kuvauksiin. Metristen avaruuksien osalta tutkielma painottuu avointen joukkojen ominaisuuksien tarkasteluun, sillä avointen joukkojen ymmärtäminen on tärkeää topologisen avaruuden määrittelyä varten.
Topologinen avaruus on joukko, jossa on määritelty, mitkä osajoukot ovat avoimia. Topologisista avaruuksista esitetään muutama esimerkki, mutta suurimmaksi osaksi topologisen avaruuden käsitteitä havainnollistetaan reaalilukujen avaruudessa. Metrisissä avaruuksissa määritellyt käsitteet laajennetaan topologisiin avaruuksiin. Erityisesti pyritään havainnollistamaan yhteyttä jatkuvuuden käsitteen ja avointen joukkojen välillä. Lopuksi esitellään lyhyesti topologian kannan käsite sekä sen yhteys jatkuvuuteen ja metrisiin avaruuksiin.
Lukija ei tarvitse tulosten ymmärtämiseen periaatteessa (tavanomaisten matemaattisten symbolien sekä matemaattisen päättelyn perusteiden tuntemisen lisäksi) mitään esitietoja, sillä tarvittavat joukko-operaatiot sekä kuvauksiin liittyvät käsitteet määritellään tutkielman alussa. Lukijan kuitenkin oletetaan tuntevan analyysin peruskurssilta reaalisen funktion jatkuvuuden määritelmän sekä joitakin perustuloksia. Suurin osa havainnollistavista esimerkeistä rakentuu näiden tietojen pohjalta. Myös euklidisten avaruuksien peruskäsitteiden tuntemisesta on hyötyä.
Tutkielman päälähteinä ovat Satish Shiralin ja Harkrishan L. Vasudevan kirja Metric Spaces sekä topologian osalta J. Parkkosen luentomoniste Metriset avaruudet ja topologia. Analyysin peruskurssilta tarvittavat tulokset löytyvät P. Koiviston luentomonisteesta Analyysi A -- Raja-arvo ja jatkuvuus. Muita lähteitä ovat Patrick M. Fitzpatrickin kirja Advanced Calculus: Second Edition ja Steven G. Krantzin kirja Guide to Topology.
Metrinen avaruus on joukko, jossa on määritelty kahden alkion välinen etäisyys. Metrisistä avaruuksista esitellään muutama esimerkki, joiden avulla havainnollistetaan myöhemmin esiteltäviä käsitteitä sekä tuloksia. Lisäksi määritellään avoimet ja suljetut joukot, ja laajennetaan jatkuvuuden käsite reaalisista funktioista metristen avaruuksien välisiin kuvauksiin. Metristen avaruuksien osalta tutkielma painottuu avointen joukkojen ominaisuuksien tarkasteluun, sillä avointen joukkojen ymmärtäminen on tärkeää topologisen avaruuden määrittelyä varten.
Topologinen avaruus on joukko, jossa on määritelty, mitkä osajoukot ovat avoimia. Topologisista avaruuksista esitetään muutama esimerkki, mutta suurimmaksi osaksi topologisen avaruuden käsitteitä havainnollistetaan reaalilukujen avaruudessa. Metrisissä avaruuksissa määritellyt käsitteet laajennetaan topologisiin avaruuksiin. Erityisesti pyritään havainnollistamaan yhteyttä jatkuvuuden käsitteen ja avointen joukkojen välillä. Lopuksi esitellään lyhyesti topologian kannan käsite sekä sen yhteys jatkuvuuteen ja metrisiin avaruuksiin.
Lukija ei tarvitse tulosten ymmärtämiseen periaatteessa (tavanomaisten matemaattisten symbolien sekä matemaattisen päättelyn perusteiden tuntemisen lisäksi) mitään esitietoja, sillä tarvittavat joukko-operaatiot sekä kuvauksiin liittyvät käsitteet määritellään tutkielman alussa. Lukijan kuitenkin oletetaan tuntevan analyysin peruskurssilta reaalisen funktion jatkuvuuden määritelmän sekä joitakin perustuloksia. Suurin osa havainnollistavista esimerkeistä rakentuu näiden tietojen pohjalta. Myös euklidisten avaruuksien peruskäsitteiden tuntemisesta on hyötyä.
Tutkielman päälähteinä ovat Satish Shiralin ja Harkrishan L. Vasudevan kirja Metric Spaces sekä topologian osalta J. Parkkosen luentomoniste Metriset avaruudet ja topologia. Analyysin peruskurssilta tarvittavat tulokset löytyvät P. Koiviston luentomonisteesta Analyysi A -- Raja-arvo ja jatkuvuus. Muita lähteitä ovat Patrick M. Fitzpatrickin kirja Advanced Calculus: Second Edition ja Steven G. Krantzin kirja Guide to Topology.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [8798]