Vektoriavaruuksien suorat summat ja projektiot

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan vektoriavaruuksien suoria summia ja projektioita. Tarkoituksena on antaa lukijalle käsitys siitä, mitä näillä määritelmillä tarkoitetaan ja miten aiheeseen liittyviä käsitteitä voidaan hyödyntää matemaattisissa todistuksissa. Tutkielman alussa esitetään määritelmiä esimerkiksi käsitteille matriisin transpoosi ja aliavaruus, joita käytetään myöhemmin avuksi tutkielman todistuksissa. Alussa esitettyjen esitietojen lisäksi lukijalta odotetaan lineaarialgebran perustietojen tuntemusta. Suora summa on erityistapaus kahden aliavaruuden summasta. Kahden aliavaruuden summa on suora, jos aliavaruuksien leikkaus on ainoastaan nollavektorin sisältävä joukko. Toinen tapa määritellä suora summa on, että summa on suora silloin, kun sen jokainen vektori voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti summana kahdesta vektorista, joista toinen kuuluu summan ensimmäiseen aliavaruuteen ja toinen summan jälkimmäiseen aliavaruuteen. Suorien summien yhteydessä käsitellään lisäksi aliavaruuksien ortogonaalikomplementteja. Ortogonaalikomplementti koostuu vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia aliavaruuden vektoreita vastaan. Tutkielman toisena pääaiheena ovat projektiot. Projektio on eräs lineaarikuvaus, joka on määritelty kahden aliavaruuden suorasta summasta muodostuvan vektoria- varuuden avulla. Erityistapaus projektiosta on ortogonaali- eli kohtisuoraprojektio, joka vaatii määrittelyjoukokseen sisätuloavaruuden. Projektioihin liittyy vahvasti käsite idempotentti, sillä jokainen projektio on idempotentti, ja toisaalta lineaarikuvaus on projektio, jos ja vain jos se on idempotentti. Idempotentille lineaarikuvaukselle pätee, että se säilyy samana riippumatta suorituskertojen määrästä. Tutkielmassa esitetään lisäksi lause, joka helpottaa ortogonaaliprojektioiden etsimistä. Lause perustuu ortogonaaliprojektiota vastaavan matriisin löytämiseen. Tutkielman lopuksi esitetään vielä sovelluksena lause, jonka avulla voidaan määrittää pisteen etäisyys aliavaruudesta ja täten myös aliavaruutta lähinnä sijaitseva piste.