Pascalin kolmio, Pascalin pyramidi ja trinomikolmio : Sommitelmien teoreettinen ymmärtäminen

Abstract

Tämän kandidaatintyön aiheena ovat geometriset sommitelmat Pascalin kolmio, Pascalin pyramidi ja trinomikolmio. Näiden kolmen muodostus, ominaisuudet ja sovellukset ovat lähellä toisiaan, mutta niiden teoreettiset erot kuitenkin jakavat ne omiin hyödynnettäviin sovelluksiinsa. Työssä pyritään aluksi määrittelemään olennaiset asiat näiden teoriasta ja yhteyksistä eri matemaattisiin lauseisiin. Näitä yhteyksiä hyödynnetään myöhemmin luvussa 3, jossa tutustutaan tarkemmin Pascalin kolmion ominaisuuksiin ja sovelluksiin. Sovelluksien tarkastelussa mietitään varsinkin eri tapoja, joilla Pascalin kolmiota voidaan hyödyntää matemaattisen ymmärryksen laajentamisessa sekä laskurutiinien helpottamisessa. Työn teoria ja sovelluksien tutkimus toteutettiin kirjallisuuskatsauksena. Tutkittaviin aiheisiin liittyvät olennaisesti multinomikertoimet, joiden avulla sommitelmat voidaan muodostaa. Pascalin kolmioon liittyvät kaksipaikkaiset multinomikertoimet, jotka tunnetaan paremmin binomikertoimina. Pascalin pyramidin multinomikertoimet ovat kolmipaikkaisia ja tunnetaan tässä työssä termillä pyramiditrinomikerroin. Pascalin pyramidin yhteydessä käsitellään myös multinomikertoimien idea yleisenä tapauksena, eli lausekkeen termien määrästä riippumattomana. Trinomikolmion kohdalla kyseessä on kolmipaikkaisten multinomikertoimien erikoistapaus, josta nyt käytetään termiä kolmiotrinomikerroin. Pascalin kolmiosta löydetään erilaisia ominaisuuksia, esimerkiksi kolmiosta voidaan kuviopäättelyllä löytää muista yhteyksistä tuttuja lukujonoja ja toisaalta yksittäisisiä Pascalin kolmion lukuja voidaan päätellä tiettyihin kuviomuodostelmiin liittyvien alkioiden summina. Näiden kuviomuodostelmien nimiksi on työtä varten valittu L-maila, Pystymaila ja kiekko, sekä Iso pystymaila ja kiekko. Pascalin kolmion sovelluksista löydetään yhteyksiä esimerkiksi kombinatoriikkaan, todennäköisyyslaskentaan sekä binomimuunnokseen.