Hadamardin tulo ja sen käyttö digitaalisessa kuvankäsittelyssä
Tervonen, Jaakko (2022)
Tervonen, Jaakko
2022
Teknis-luonnontieteellinen DI-ohjelma - Master's Programme in Science and Engineering
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2022-12-21
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202212139154
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202212139154
Tiivistelmä
Perinteisen matriisitulon ohella matriiseille voidaan määritellä myös muita tuloja, kuten Hadamardin tulo, joka eroaa perinteisestä matriisitulosta muun muassa yksinkertaisuutensa ja vaihdannaisuutensa ansiosta. Hadamardin tulo on määritelty kahdelle samankokoiselle matriisille. Hadamardin tulossa tulontekijöiden (matriisien) alkiot kerrotaan keskenään. Hadamardin tulo muistuttaa siis matriisien yhteenlaskua, joka tehdään samaan tapaan alkioittain. Hadamardin tulossa tulokseksi saadaan tulontekijöiden kanssa samankokoinen matriisi.
Tässä diplomityössä tutkittiin Hadamardin tuloa ja sen käyttöä digitaalisessa kuvankäsittelyssä. Työn on tarkoitus olla ymmärrettävissä ilman ulkoisia lähteitä. Työn tärkeimpiä tuloksia ovat Schurin lauseen ja Hadamardin tulon determinanttiepäyhtälön todistus. Schurin lause on keskeinen matriisianalyysissa ja sen avulla voidaan todistaa monia muita ominaisuuksia. Tässä työssä Schurin lausetta käytettiin Hadamardin tulon determinanttiepäyhtälön todistamiseen. Lisäksi todistuksia varten tarvitaan lukuisia erilaisia lauseita ja määritelmiä, jotka esitetään työn alkupuolella.
Digitaaliset kuvat voidaan esittää matriiseina (mustavalkokuvat) tai pinona matriiseja (RGB-kuvat). Matriisilaskennan avulla digitaalisille kuville voidaan tehdä monenlaisia muokkauksia, kuten säätää kuvan kirkkautta tai kontrastia. Tässä työssä on käsitellään erityisesti digitaalisten kuvien konvoluutiota, jonka avulla kuvia voidaan esimerkiksi sumentaa tai terävöittää. Yksi sovellusluvun merkittävimpiä tuloksia on digitaalisen kuvan alueellinen sumentaminen, joka toteutettiin hyödyntämällä digitaalisten kuvien konvoluutiota ja Hadamardin tuloa. In addition to the usual matrix product, other products can also be defined for matrices, such as the Hadamard product, which differs from the usual matrix product due to, among other things, its simplicity and its commutative property. The Hadamard product is defined for two matrices of the same size. In the Hadamard product, the elements of the multiplication factors (matrices) are multiplied together. The Hadamard product is thus similar to the matrix addition, which is done in the same way elementwise. Hadamard product results in a matrix of the same size as the multiplication factors.
This master's thesis studies the Hadamard product and its use in digital image processing. The thesis is meant to be comprehensible without external sources. The most important results of the thesis are the proof of Schur product theorem and the determinant inequality of the Hadamard product. Schur product theorem is fundamental theorem in matrix analysis and it can be used to prove many other properties. In this thesis, Schur product theorem was used to prove the determinant inequality of the Hadamard product. In addition, numerous different theorems and definitions are needed for the proofs, which are presented at the beginning of the thesis.
Digital images can be represented as matrices (grayscale images) or as a stack of matrices (RGB images). Using matrix calculation, digital images can be edited in many ways, such as adjusting the brightness or contrast of the image. This thesis deals in particular with the convolution of digital images, which can be used to blur or sharpen images, for example. One of the most significant results of the application chapter is the regional blurring of the digital image, which was implemented by utilizing the convolution of digital images and the Hadamard product.
Tässä diplomityössä tutkittiin Hadamardin tuloa ja sen käyttöä digitaalisessa kuvankäsittelyssä. Työn on tarkoitus olla ymmärrettävissä ilman ulkoisia lähteitä. Työn tärkeimpiä tuloksia ovat Schurin lauseen ja Hadamardin tulon determinanttiepäyhtälön todistus. Schurin lause on keskeinen matriisianalyysissa ja sen avulla voidaan todistaa monia muita ominaisuuksia. Tässä työssä Schurin lausetta käytettiin Hadamardin tulon determinanttiepäyhtälön todistamiseen. Lisäksi todistuksia varten tarvitaan lukuisia erilaisia lauseita ja määritelmiä, jotka esitetään työn alkupuolella.
Digitaaliset kuvat voidaan esittää matriiseina (mustavalkokuvat) tai pinona matriiseja (RGB-kuvat). Matriisilaskennan avulla digitaalisille kuville voidaan tehdä monenlaisia muokkauksia, kuten säätää kuvan kirkkautta tai kontrastia. Tässä työssä on käsitellään erityisesti digitaalisten kuvien konvoluutiota, jonka avulla kuvia voidaan esimerkiksi sumentaa tai terävöittää. Yksi sovellusluvun merkittävimpiä tuloksia on digitaalisen kuvan alueellinen sumentaminen, joka toteutettiin hyödyntämällä digitaalisten kuvien konvoluutiota ja Hadamardin tuloa.
This master's thesis studies the Hadamard product and its use in digital image processing. The thesis is meant to be comprehensible without external sources. The most important results of the thesis are the proof of Schur product theorem and the determinant inequality of the Hadamard product. Schur product theorem is fundamental theorem in matrix analysis and it can be used to prove many other properties. In this thesis, Schur product theorem was used to prove the determinant inequality of the Hadamard product. In addition, numerous different theorems and definitions are needed for the proofs, which are presented at the beginning of the thesis.
Digital images can be represented as matrices (grayscale images) or as a stack of matrices (RGB images). Using matrix calculation, digital images can be edited in many ways, such as adjusting the brightness or contrast of the image. This thesis deals in particular with the convolution of digital images, which can be used to blur or sharpen images, for example. One of the most significant results of the application chapter is the regional blurring of the digital image, which was implemented by utilizing the convolution of digital images and the Hadamard product.