Ultratulot ja Rabinin ja Keislerin lause
Kuntola, Jessica (2023)
Kuntola, Jessica
2023
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-01-17
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202212078968
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202212078968
Tiivistelmä
Tutkielman tarkoituksena on esitellä ultratulot ja todistaa niitä soveltamalla Rabinin ja Keislerin lause. Tutkielma aloitetaan määrittelemällä predikaattilogiikan syntaksi eli kaavat ja lauseet sekä semantiikka eli syntaksille merkityksen antavat mallit, jotka ovat niiden määrittelyjoukosta ja määrittelyjoukon äärellispaikkaisista relaatioista muodostettuja järjestettyjä pareja. Pohjatietojen jälkeen käsitellään ultratuloja, joiden avulla malleja on mahdollista muodostaa. Esitellään ensin ultrafiltterin käsite, ja sen avulla ultratulo eli useista pienemmistä malleista konstruoitu yksittäinen isompi malli. Todistetaan ultratulojen peruslause, Los'n lause, jonka mukaan kaava on totta ultratulossa, jos ja vain jos niiden indeksien joukko, jolla kaava on totta alkuperäisissä malleissa, kuuluu ultrafiltteriin. Todistetaan myös ultratulojen ja Los'n lauseen sovellus, kompaktisuuslause, jonka mukaan lausejoukolla on malli, jos ja vain jos jokaisella sen äärellisellä osajoukolla on malli.
Tutkielman jälkimmäisellä puoliskolla keskitytään Rabinin ja Keislerin lauseeseen sekä sen alustamiseen. Määritellään ensin todistuksen sisällön ymmärtämistä varten tarvittavia käsitteitä, kuten kardinaaliluku, joukon mahtavuus eli alkioiden lukumäärä, pääultrafiltteri ja omega-mitallinen kardinaali. Tutkielman viimeisessä luvussa oletetaan, että ääretön kardinaali k ei ole omega-mitallinen. Tähän oletukseen perustuen todistetaan Rabinin ja Keislerin lause, jonka mukaan kaikilla malleilla on samaa mahtavuutta k oleva aito elementaarinen laajennus, jos ja vain jos k = k^N0. Todistus käydään läpi vaiheittain apulauseiden avulla.
Tutkielman jälkimmäisellä puoliskolla keskitytään Rabinin ja Keislerin lauseeseen sekä sen alustamiseen. Määritellään ensin todistuksen sisällön ymmärtämistä varten tarvittavia käsitteitä, kuten kardinaaliluku, joukon mahtavuus eli alkioiden lukumäärä, pääultrafiltteri ja omega-mitallinen kardinaali. Tutkielman viimeisessä luvussa oletetaan, että ääretön kardinaali k ei ole omega-mitallinen. Tähän oletukseen perustuen todistetaan Rabinin ja Keislerin lause, jonka mukaan kaikilla malleilla on samaa mahtavuutta k oleva aito elementaarinen laajennus, jos ja vain jos k = k^N0. Todistus käydään läpi vaiheittain apulauseiden avulla.