Matriisiyhtälön XAX = B ratkaisemisesta : Yhtälön ratkaisukaavan johtaminen reaalisten definiittien n x n-matriisien tapauksessa

Abstract

Tässä työssä johdetaan ratkaisukaava matriisiyhtälölle XAX = B tapauksessa, jossa reaaliset n x n-matriisit A ja B ovat definiittejä. Työ on suunnattu lukijoille, joilla on pohjatietoja matriisilaskennasta. Työn alussa käydään läpi teoriaa, jota tarvitaan yhtälön ratkaisemisessa. Tarvittavat perustiedot matriiseista esitellään vain notaatioiden tasolla.

Koska yhtälön ratkaisu on työssä pääasiallisesti kohdennettu definiiteille matriiseille, työssä määritellään matriisien eri definiittisyydet ja esitetään tarpeellisia lauseita todistuksineen. Näiden lauseiden avulla definiittisyydet yhdistetään ominaisarvoihin sekä matriisin determinanttiin ja jälkeen. Työssä keskitytään positiivisesti ja negatiivisesti definiitteihin matriiseihin, mutta myös semidefiniitit ja indefiniitit matriisit määritellään.

Työssä käsitellään kvadraattista matriisiyhtälöä, joten matriisin neliöjuuren käsite on tärkeä yhtälön ratkaisemisen kannalta. Matriisin neliöjuuri määritellään ja positiivisesti definiitin 2 x 2-matriisin neliöjuurelle johdetaan esityskaava Cayley-Hamilton-lauseen avulla. Lisäksi työssä esitetään matriisin neliöjuuren definiittisyyteen liittyviä lauseita.

Päätuloksena yhtälölle XAX = B saadaan neljä ratkaisukaavaa eri tilanteille, joissa molemmat tunnetut matriisit ovat positiivisesti definiittejä, molemmat tunnetut matriisit ovat negatiivisesti definiittejä, matriisi A on positiivisesti definiitti matriisin B ollessa negatiivisesti definiitti tai päinvastoin. Ratkaisukaavojen käytöstä esitetään konkreettisia esimerkkejä 2 x 2-tapauksissa. Yhtälöä tutkitaan työssä myös yleisemmin. Yleisessä tapauksessa pystytään päättelemään matriisin X ominaisuuksia annettujen matriisien A ja B kääntyvyyden, determinanttien sekä asteiden avulla.