Hyperbolisesta geometriasta Poincarén kiekossa

Abstract

Tutkielman tarkoituksena on käsitellä hyperbolista geometriaa Poincarén kiekkomallissa. Tutkielmassa esitellään tärkeitä hyperbolisen geometrian käsitteitä ja lauseita sekä tuodaan esille hyperbolisen ja euklidisen geometrian eroavaisuuksia ja yhtäläisyyksiä. Käsitteitä ja lauseiden todistuksia on havainnollistettu useilla kuvilla. Tutkielma jakaantuu kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa käsitellään keskeisiä esitietoja, joita tarvitaan Poincarén kiekkomallin tutkimiseen ja perehdytään lyhyesti hyperbolisen geometrian historiaan. Historian ohella tutustutaan myös euklidisen geometrian perustana oleviin aksioomiin sekä hyperboliseen yhdensuuntaisuusaksioomaan, joka erottaa hyperbolisen ja euklidisen geometrian toisistaan. Tutkielman toisessa osassa käsitellään itse Poincarén kiekkoa. Ensimmäisenä päätavoitteena on määritellä hyperbolinen geometria Poincarén kiekossa. Tämä tehdään käyttämällä näkökulmaa, jonka mukaan hyperbolinen geometria on geometria, joka koostuu annetun avaruuden pisteistä ja tämän avaruuden bijektiivisten kuvausten ryhmästä. Tässä tutkielmassa niillä tarkoitetaan Poincarén kiekkoa ja hyperbolisten siirtymien joukkoa. Hyperbolisen geometrian määrittelyn ohella määritellään myös keskeisiä käsitteitä, kuten hyperbolinen suora, hyperbolinen siirtymä ja yhdensuuntaisuuden käsite. Seuraavaksi tutkielmassa perehdytään hyperbolisen geometrian ominaispiirteisiin. Tutkielmassa todistetaan tärkeä apulause, origolemma, jota hyödynnetään monesti eri lauseiden todistuksissa. Lisäksi todistetaan hyperbolisten suorien olevan yksikäsitteisiä. Tämän jälkeen hyperboliset siirtymät esitetään Möbius-kuvausten avulla ja määritellään hyperbolinen etäisyys kahden pisteen välillä. Geometrisista tasokuvioista määritellään hyperbolinen ympyrä, hyperbolinen kolmio ja hyperbolinen nelikulmio. Havaitaan, että hyperboliset ja euklidiset ympyrät ovat yhteneviä ja että hyperbolisen kolmion kulmien summa on vähemmän kuin luku pii. Myös hyperbolisen kolmion erityistapaus asymptoottinen kolmio esitellään lyhyesti. Tutkielma päättyy Pythagoraan lauseen hyperbolisen vastineen esittelemiseen ja todistamiseen.