Kontraktiokuvaukset metrisessä avaruudessa

Abstract

Tässä tutkielmassa tutkitaan kontraktiokuvauksia. Kontraktiokuvaukset ovat erikoistapaus Lipschitz-kuvauksista. Kontraktiokuvauksessa kahden pisteen etäisyys pienenee aina vähintään jonkin vakiokertoimen verran. Tämän lisäksi tutkitaan kiintopisteitä eli pisteitä, joissa kuvaus ei muuta saamaansa arvoa. Tutkitaan myös kiintopisteiden ja kontraktiokuvausten välistä suhdetta. Kontraktiokuvauksia tutkitaan metrisissä avaruuksissa. Metriset avaruudet ovat avaruuksia, joissa kahden pisteen etäisyys voidaan laskea, sekä kolmioepäyhtälö pätee. Tutkielman alussa esitetään valmistelevia tarkasteluja, joita käytetään myöhemmin tulevien lauseiden todistamiseen. Tässä määritellään metriikka, metrinen avaruus sekä metrisen avaruuden ominaisuuksia. Esitetään myös myöhemmin tarvittavia lauseita ja annetaan esimerkki metriikasta, jota käytetään myöhemmässä todistuksessa. Tutkielman kolmannessa luvussa määritellään kontraktiokuvaus sekä kiintopiste, ja tutkitaan näiden ominaisuuksia. Näitä ominaisuuksia käytetään todistamaan Banachin kiintopistelause. Lause kertoo, että täydellisessä metrisessä avaruudessa kontraktiokuvauksella on täsmälleen yksi kiintopiste. Todistuksen jälkeen sovelletaan kontraktiokuvausten ominaisuuksia sekä Banachin kiintopistelausetta esimerkissä, jossa arvioidaan neliöjuuri kahden arvoa. Esimerkin jälkeen todistetaan Banachin kiintopistelauseen seurauksia. Näiden seurauksien avulla voidaan laskea esimerkissä tehdyn arvion tarkkuuttaa sekä nopeutta. Tutkielman viimeisessä luvussa siirrytään yleistyksiin, ja yhtenä suurena kontraktiokuvausten sovelluksena todistetaan Picardin lause. Yleistyksissä todistetaan, että vain kuvauksen jonkin iteraation täytyy olla kontraktiokuvaus, jotta voidaan soveltaa Banachin kiintopistelausetta. Todistetaan myös lause, joka takaa kiintopisteen yksikäsitteisyyden, jos kuvausta käytettäessä jokaisen pisteen etäisyys pienenee, ja avaruus on jonokompakti. Näissä yleistyksissä kuvaus, jolla aloitetaan, ei välttämättä ole kontraktiokuvaus. Näiden yleistyksien jälkeen esitetään alkuarvo-ongelma. Tämän jälkeen esitetään aputuloksia, joiden avulla todistetaan Picardin lause. Picardin lause määrää tavallisten differentiaaliyhtälöiden olemassaolon ja yksikäsitteisyyden. Tutkielman lopuksi käytetään Picardin lausetta löytämään ratkaisu alkuarvo-ongelmalle.