Hyperjoukot
Yli-Karhula, Topi (2022)
2022
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2022-08-16
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202206175717
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202206175717
Tiivistelmä
Tämä tutkielma käsittelee joukko-opin säännöllisyysaksiooman suhteen vaihtoehtoista antisäännöllisyysaksioomaa sekä tämän seurauksia. Ensimmäisessä luvussa perehdytään johdantona antisäännöllisyysaksioomien historiaan joukko-opin kehityksen ohella. Toisessa luvussa annetaan tutkielman vaatimia käsitteitä. Nämä ovat pitkälti joukko-opin ja kategoriateorian peruskäsitteitä.
Kolmas luku esittelee itse antisäännöllisyysaksiooman mallintamalla joukkoja yhtälöryhmien avulla. Neljännessä luvussa esitellään bisimulaation konsepti. Ensimmäisessä aliluvussa tutkitaan bisimulaatioita yhtälöryhmien välillä sekä tämän yhteyksiä joukkojen ekstensionaalisuuteen. Toinen aliluku taas esittelee tavan muodostaa antisäännöllisyysaksioomasta poikkeavia muunnelmia käyttäen sopivia bisimulaatioita. Tätä varten tarkennetaan myös yhtälöryhmiin liittyviä käsitteitä. Viidennessä luvussa osoitetaan, että antisäännöllisyysaksiooman tai tämän muunnelman toteuttava malli voidaan rakentaa mallin pohjalta, jossa pätevät ZFC-aksioomat lukuun ottamatta säännöllisyysaksioomaa.
Kuudes luku antaa esimerkin antisäännöllisyysaksiooman käytöstä virtojen avulla. Nämä esitetään järjestettyinä pareina, joiden toisena jäsenenä on aina toinen virta. Kyseinen luku myös esittelee korekursion käsitteen virtojen suhteen. Tämä on tapa määritellä joukkoja suurimpina tietyn ehdon täyttävinä joukkoina, joka on hyödyllistä antisäännöllisyysaksiooman pätiessä. Seitsemännessä luvussa korekursioon perehdytään yleisempään tapaukseen. Tämän luvun lopputuloksena saadaankiin, että korekursio pystytään määrittelemään kaikille tietynlaisille joukkojen operaatioille.
Kolmas luku esittelee itse antisäännöllisyysaksiooman mallintamalla joukkoja yhtälöryhmien avulla. Neljännessä luvussa esitellään bisimulaation konsepti. Ensimmäisessä aliluvussa tutkitaan bisimulaatioita yhtälöryhmien välillä sekä tämän yhteyksiä joukkojen ekstensionaalisuuteen. Toinen aliluku taas esittelee tavan muodostaa antisäännöllisyysaksioomasta poikkeavia muunnelmia käyttäen sopivia bisimulaatioita. Tätä varten tarkennetaan myös yhtälöryhmiin liittyviä käsitteitä. Viidennessä luvussa osoitetaan, että antisäännöllisyysaksiooman tai tämän muunnelman toteuttava malli voidaan rakentaa mallin pohjalta, jossa pätevät ZFC-aksioomat lukuun ottamatta säännöllisyysaksioomaa.
Kuudes luku antaa esimerkin antisäännöllisyysaksiooman käytöstä virtojen avulla. Nämä esitetään järjestettyinä pareina, joiden toisena jäsenenä on aina toinen virta. Kyseinen luku myös esittelee korekursion käsitteen virtojen suhteen. Tämä on tapa määritellä joukkoja suurimpina tietyn ehdon täyttävinä joukkoina, joka on hyödyllistä antisäännöllisyysaksiooman pätiessä. Seitsemännessä luvussa korekursioon perehdytään yleisempään tapaukseen. Tämän luvun lopputuloksena saadaankiin, että korekursio pystytään määrittelemään kaikille tietynlaisille joukkojen operaatioille.