Whiteheadin ongelma ja Martinin aksiooma

Abstract

Tässä tutkielmassa osoitetaan päätuloksena, että kun aksioomasysteemiin ZFC lisätään Martinin aksiooma sekä kontinuumihypoteesin negaatio, niin Whiteheadin ongelmaan “Onko jokainen Whiteheadin ryhmä vapaa?” saadaan kielteinen vastaus tässä systeemissä. Whiteheadin ryhmät ovat sellaisia Abelin ryhmiä A, että Ext(A,Z)=0, missä 0 on triviaali ryhmä. Tutkielman alussa esitellään joukko-opillisia perustietoja Martinin aksiooman myötä sekä vapaiden ja torsiottomien Abelin ryhmien ominaisuuksia. Tämän jälkeen esitellään homologisen algebran keinoin Whiteheadin ryhmien ominaisuuksia sekä todistetaan myöntävä vastaus Whiteheadin ongelmaan numeroituville Whiteheadin ryhmille systeemissä ZFC. Lopuksi osoitetaan, että lisäämällä Martinin aksiooma ja kontinuumihypoteesin negaatio systeemiin ZFC saadaan kieltävä vastaus Whiteheadin ongelmaan eli on olemassa epävapaa Whiteheadin ryhmä. Loppupohdinnoissa mainitaan esimerkiksi, että tutkielman päätulosta voidaan vahvistaa. Päätuloksen vahvistuksessa osoitetaan, että jokaisella ylinumeroituvalla kardinaalilla on olemassa epävapaa W-ryhmä, jonka mahtavuus vastaa tätä ylinumeroituvaa kardinaalia.