Q-funktion minimax-approksimointi eksponenttisummalla

Abstract

Langaton tiedonsiirto on läsnä kaikkialla yhteiskunnassa. Siirrettyjen datamäärien kasvaessa tiedonsiirron laadukkuus on erityisen tärkeää. Tietoliikennetekniikassa tiedonsiirron virheettömyyttä voidaan arvioida tilastollisin keinoin käyttäen normaalijakauman eli Gaussin jakauman häntäfunktiota, Q-funktiota. Q-funktiota hyödynnetään tiedonsiirron symboli- ja bittivirhetodennäköisyyksien laskemisessa siten, että sen parametrinaan saama signaali-kohinasuhde SNR saa eri kertoimia käytetystä digitaalisesta modulaatiosta ja modulaation konstellaatiosta riippuen. Signaali-kohinasuhteen kasvaessa tiedonsiirron virhetodennäköisyys pienenee, ja käytännön suunnittelutyö onkin tasapainon hakemista riittävän signaali-kohinasuhteen ja kyllin pienen tiedonsiirron virhetodennäköisyyden saavuttamiseksi.

Käyttökelpoisuudestaan huolimatta Q-funktio on matemaattisesti hankala integraalifunktio, jonka saamat arvot voidaan ratkaista vain numeerisesti laskentaohjelmalla. Analyyttistä käsittelyä varten Q-funktiosta onkin kehitetty useisiin eri lähestymistapoihin perustuvia approksimaatioita, joiden avulla Q-funktion saamia arvoja voidaan ratkaista riittävällä tarkkuudella. Tutkielmassa esitellään tietoliikennetekniikassa merkityksellisimmät lähestymistavat: rajoihin perustuvat approksimaatiot, eksponenttifunktioon perustuvat approksimaatiot, polynomieksponenttifunktioon perustuvat approksimaatiot ja eri funktioihin perustuvat approksimaatiot.

Varsinainen tutkimuskysymys on erään tietyn eksponenttifunktioon perustuvan minimax-approksimaation jatkokehitys. Kyseisessä approksimaatiossa eksponenttifunktion kertoimet saadaan minimoimalla approksimaation absoluuttisen ja suhteellisen virheen tuottamaa kokonaisvirhettä siten, että virheitä kuvaavat epälineaariset yhtälöryhmät ratkaistaan Newtonin menetelmällä numeerisesti. Tässä tutkielmassa absoluuttisen virheen ratkaisemiseen esitetään analyyttisesti ratkaistu Jacobin matriisi, jonka avulla vältetään numeerisen laskennan tarpeetonta raskautta menetelmää käytettäessä. Analyyttisesti ratkaistu Jacobin matriisi voidaan myöhemmin toteuttaa laskentaohjelmaan sopivana kooditoteutuksena, jolla approksimaation vaatimaa prosessointitehoa ja -aikaa voidaan pienentää ja Newtonin menetelmän vaatiman alkuarvauksen saamista mahdollisesti helpottaa. Tutkielman lopussa esitetään jatkokehitysideoita tulevaa tutkimusta varten.