Hilat ja Boolen algebrat

Abstract

Tutkielmassa tarkastellaan Boolen algebroja ja niiden ominaisuuksia. Lisäksi tutkielmassa tutustutaan hiloihin ja niiden merkitykseen Boolen algebran määrittelyssä. Tutkielman alussa esitellään osittain järjestetty joukko, jonka määritelmää tarvitaan hilan ja täten myös Boolen algebran määrittelemiseen. Osittain järjestetyistä joukoista tarkastellaan syvemmin erityisesti potenssijoukkoa, ja sitä hyödynnetään määritelmissä sekä esimerkeissä myöhemmin tutkielmassa. Edelleen osittain järjestetyille joukoille esitellään supremumin ja infimumin käsitteet, ja näiden yksikäsitteisyys osoitetaan.

Seuraavaksi tutkielmassa esitellään hila määrittelemällä se osittain järjestetyksi joukoksi pienimmän ylärajan ja suurimman alarajan binäärioperaatioilla. Näille operaatioille osoitetaan pätevän vaihdannaisuus-, liitännäisyys-, idempotenttisuus- ja absorptiolait. Myös duaalisuusperiaate esitellään myöhempien tutkielman lauseiden todistuksien avuksi. Hiloille määritellään komplementoituvuuden ja distributiivisuuden käsitteet, jotka johtavat suoraan Boolen algebran määritelmään.

Boolen algebraksi määritellään hila, jolla on pienin ja suurin alkio ja joka on distributiivinen ja komplementoitu. Boolen algebran pienimmän ja suurimman alkion sekä komplementin yksikäsitteisyys osoitetaan tutkielmassa. Lisäksi hilan todetaan olevan Boolen algebra, jos ja vain jos sen binäärioperaatiot toteuttavat viisi tutkielmassa esiteltyä ja osoitettua aksioomaa. Seuraavaksi tutkielmassa esitellään äärelliset Boolen algebrat ja määritellään Boolen algebrojen isomorfismin bijektiivinen kuvaus. Myös äärellisen Boolen algebran atomi määritellään. Tutkielman päätteeksi osoitetaan minkä tahansa äärellisen Boolen algebran olevan isomorfinen Boolen algebraan, joka saadaan ottamalla jonkin äärellisen joukon potenssijoukko. Osittain järjestettyjä joukkoja, hiloja ja Boolen algebroja havainnollistetaan tutkielmassa esimerkkien ja Hassen diagrammien avulla.