Jonot metrisissä avaruuksissa
Hirvonen, Robert (2022)
2022
Matematiikan ja tilastotieteen kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Mathematics and Statistics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2022-05-10
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202205094565
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202205094565
Tiivistelmä
Tutkielmassa tarkastellaan jonojen ja osajonojen suppenemista metrisissä avaruuksissa. Lopuksi tarkastellaan jonojen ja pistejoukkotopologian käsitteiden avulla määritettyä funktion raja-arvoa metristen avaruuksien tapauksessa. Tutkielmassa esiteltyjä määritelmiä ja lauseita havainnollistetaan esimerkkien, kuvien ja kuvaajien avulla. Toinen luku sisältää vaadittavia esitietoja metristen avaruuksien jonojen ja funktioiden tarkasteluun. Luvussa määritellään itse metrinen avaruus ja tämän määrittelemiseen tarvittava etäisyysfunktio, metriikka. Etäisyysfunktion tulee täyttää tietyt ominaisuudet, jotta etäisyysfunktio yhdessä epätyhjän joukon kanssa muodostavat metrisen avaruuden. Samassa luvussa määritellään metrinen aliavaruus, jota tarvitaan tutkielmassa myöhemmin tulosten osoittamiseksi. Luvun lopuksi pistejoukkotopologian käsitteitä laajennetaan käsittämään reaaliavaruuksien lisäksi mielivaltainen metrinen avaruus.
Tutkielman luvussa 3 määritellään jonot ja tarkastellaan niiden suppenemista metrisissä avaruuksissa. Metrisen avaruuden jonon osoitetaan suppenevan kohti yksikäsitteistä pistettä avaruuden joukossa. Lisäksi määritellään metrisen jonon hajaantuvan, jos tällaista pistettä ei ole olemassa. Luvussa määritellään osajonot ja niiden suppeneminen, sekä osoitetaan jonon suppenevan, jos ja vain jos sen jokainen osajono suppenee. Lisäksi tarkastellaan Cauchyn jonoja metrisissä avaruuksissa hyödyntämällä reaalianalyysista tuttua Cauchyn suppenemisehtoa. Ennen siirtymistä funktioiden raja-arvon määritelmään, määritellään vielä avaruuden ja aliavaruuden täydellisyys Cauchyn jonojen ja suppenemisen avulla. Samalla toteamme jokaisen euklidisen avaruuden olevan täydellinen.
Tutkielmassa esitellään viimeisenä funktion raja-arvo metrisessä avaruudessa. Funktion raja-arvo voidaan määrittää kahdella eri tavalla: kasautumispisteiden ja jonojen avulla reaalianalyysista tuttuna epsilon-delta-määritelmänä, sekä palloympäristöjen avulla. Näiden määritelmien todetaan olevan keskenään ekvivalentteja.
Tutkielman luvussa 3 määritellään jonot ja tarkastellaan niiden suppenemista metrisissä avaruuksissa. Metrisen avaruuden jonon osoitetaan suppenevan kohti yksikäsitteistä pistettä avaruuden joukossa. Lisäksi määritellään metrisen jonon hajaantuvan, jos tällaista pistettä ei ole olemassa. Luvussa määritellään osajonot ja niiden suppeneminen, sekä osoitetaan jonon suppenevan, jos ja vain jos sen jokainen osajono suppenee. Lisäksi tarkastellaan Cauchyn jonoja metrisissä avaruuksissa hyödyntämällä reaalianalyysista tuttua Cauchyn suppenemisehtoa. Ennen siirtymistä funktioiden raja-arvon määritelmään, määritellään vielä avaruuden ja aliavaruuden täydellisyys Cauchyn jonojen ja suppenemisen avulla. Samalla toteamme jokaisen euklidisen avaruuden olevan täydellinen.
Tutkielmassa esitellään viimeisenä funktion raja-arvo metrisessä avaruudessa. Funktion raja-arvo voidaan määrittää kahdella eri tavalla: kasautumispisteiden ja jonojen avulla reaalianalyysista tuttuna epsilon-delta-määritelmänä, sekä palloympäristöjen avulla. Näiden määritelmien todetaan olevan keskenään ekvivalentteja.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [8231]