Pienimmän neliösumman menetelmä
Huotari, Suvi (2022)
2022
Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2022-05-10
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202204294184
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202204294184
Tiivistelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä (PNS-menetelmä) on empiirisissä tieteissä hyödynnetty matemaattinen menetelmä, jonka avulla voidaan esimerkiksi muodostaa sovitesuora tai -käyrä tarkasteltavalle datajoukolle. Yleisesti empiirisessä tutkimuksessa kerätty reaalinen data ei ole säännönmukaista, jolloin tilanteeseen muodostettu käyrä ei asetu tarkasteltavien datapisteiden mukaisesti. Tällaisessa tilanteessa on hyödyllistä muodostaa paras approksimaatio, joka olisi mahdollisimman lähellä tarkasteltavia datapisteitä. Tämän kandidaatintyön tavoitteena on esitellä pienimmän neliösumman menetelmä sekä siihen liittyvä teoreettinen tausta. Menetelmää sovelletaan aikasarja-aineistoon: aineistoon tehdään sovite, jonka avulla muodostetaan ennuste ja arvioidaan tarkasteltavaa lähdedataa.
Tilanteessa, jossa lähdedatasta muodostetulle matriisiyhtälölle ei ole ratkaisua, halutaan usein muodostaa approksimaatio. Pienimmän neliösumman menetelmän avulla voidaan muodostaa paras approksimaatio tälle vektorille. Vektorin projektio toisessa sisätuloavaruudessa on paras mahdollinen approksimaatio tilanteessa, jossa se ei kuulu kyseiseen sisätuloavaruuteen. Lauseen todistusta varten määritellään projektion ja sisätuloavaruuden määritelmät, sekä Pythagoraan lause.
Kun halutaan todistaa pienimmän neliösumman menetelmää, hyödynnetään parhaan approksimaation lausetta, ortogonaalisuuden ja ortogonaalisuuden yksikäsitteisyyden määritelmää. Pienimmän neliösumman menetelmässä vektori ei kuulu matriisiyhtälön ratkaisun sarakeavaruuteen, jolloin halutaan muodostaa sarakeavaruudessa oleva mahdollisimman lähellä matriisiyhtälön ratkaisua oleva esitysmuoto, eli pienimmän neliösumman ratkaisu. Tässä kandidaatintyössä ratkaisu esitetään normaaliyhtälön ja QR-hajotelman avulla. Lisäksi voidaan määritellä saadulle ratkaisulle pienimmän neliösumman virhe.
Tässä kandidaatintyössä esitellään matemaattisen teorian lisäksi, kuinka pienimmän neliösumman menetelmää voidaan käyttää lähdedatalle, ja kuinka sille muodostetaan erilaisia sovitekäyriä MATLAB-ohjelmaa hyödyntäen.
Tilanteessa, jossa lähdedatasta muodostetulle matriisiyhtälölle ei ole ratkaisua, halutaan usein muodostaa approksimaatio. Pienimmän neliösumman menetelmän avulla voidaan muodostaa paras approksimaatio tälle vektorille. Vektorin projektio toisessa sisätuloavaruudessa on paras mahdollinen approksimaatio tilanteessa, jossa se ei kuulu kyseiseen sisätuloavaruuteen. Lauseen todistusta varten määritellään projektion ja sisätuloavaruuden määritelmät, sekä Pythagoraan lause.
Kun halutaan todistaa pienimmän neliösumman menetelmää, hyödynnetään parhaan approksimaation lausetta, ortogonaalisuuden ja ortogonaalisuuden yksikäsitteisyyden määritelmää. Pienimmän neliösumman menetelmässä vektori ei kuulu matriisiyhtälön ratkaisun sarakeavaruuteen, jolloin halutaan muodostaa sarakeavaruudessa oleva mahdollisimman lähellä matriisiyhtälön ratkaisua oleva esitysmuoto, eli pienimmän neliösumman ratkaisu. Tässä kandidaatintyössä ratkaisu esitetään normaaliyhtälön ja QR-hajotelman avulla. Lisäksi voidaan määritellä saadulle ratkaisulle pienimmän neliösumman virhe.
Tässä kandidaatintyössä esitellään matemaattisen teorian lisäksi, kuinka pienimmän neliösumman menetelmää voidaan käyttää lähdedatalle, ja kuinka sille muodostetaan erilaisia sovitekäyriä MATLAB-ohjelmaa hyödyntäen.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [8231]