Funktiojonojen Suppeneminen

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä funktiojonojen suppenemista. On tarkoitus antaa lukijalle käsitys funktiojonojen pisteittäisestä ja tasaisesta suppenemisesta sekä valmiudet käsitellä näitä käsitteitä matemaattisissa todistuksissa. Tutkielmassa esitellään ensin funktiojonojen pisteittäinen suppeneminen määritelmän sekä lauseen avulla. Määrittelyn jälkeen funktiojonojen pisteittäistä suppenemista käytetään kahden paloittain määriteltyihin funktioihin liittyvän esimerkkitehtävän todistuksissa. Funktiojonojen tasainen suppeneminen esitellään yhden määritelmän avulla. Tämän jälkeen käydään läpi esimerkki, joka käsittelee funktiojonojen pisteittäisen ja tasaisen suppenemisen välistä eroa, ja on siten käsitteiden syvällisemmän ymmärtämisen sekä käytännön soveltamisen kannalta tärkeä. Esimerkin jälkeen käytetään funktiojonojen tasaista suppenemista kahden lauseen todistuksissa, joista toinen liittyy jatkuvuuteen ja toinen integroituvuuteen. Esimerkkien ja lauseiden tarkoituksena on laajentaa lukijan ymmärrystä käsitteisiin liittyen sekä esittää, miten käsitteitä voidaan käyttää. Lauseisiin liittyvät aiheet, kuten jatkuvuus ja integroituvuus, ovat tutkielmassa toissijaisia ja ensisijaisena tarkoituksena on esitellä lukijalle tutkielman käsitteitä käytännössä matemaattisten todistusten kontekstissa. Lisäksi tutkielmassa pyritään tekemään lukijalle selväksi funktiojonojen pisteittäisen ja tasaisen suppenemisen välinen ero, sekä sanallisesti, että esimerkin avulla. Ajatuksena on, että luettuaan tutkielman lukijalla on käsitys funktiojonojen pisteittäiseen ja tasaiseen suppenemiseen liittyvistä perusasioista sekä valmiudet käsitellä näitä käsitteitä muissa matemaattisissa konteksteissa. Lukijalta oletetaan perusanalyysin tuntemusta - oletetaan erityisesti kokemusta analyysiin liittyvistä todistuksista. Tutkielman päälähdeteoksena käytetään William R. Waden kirjaa An Introduction to analysis, second edition. Lisäksi lähteinä käytetään J. Leblin teosta Basic analysis: Introduction to real analysis sekä William F. Trenchin teosta Introduction to real analysis.