Alkuarvotehtävien ratkaiseminen numeerisesti
Salán, Matti (2022)
2022
Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2022-04-25
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202204223419
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202204223419
Tiivistelmä
Monia käytännön ilmiötä voidaan mallintaa matemaattisesti differentiaaliyhtälöiden avulla. Tällaisia ilmiöitä ovat esimerkiksi tarttuvan taudin leviäminen ja heilurin liike. Alkuarvotehtävät ovat sellaisia differentiaaliyhtälöitä, joiden ratkaisuille annetaan jokin alkuehto. Useissa tapauksissa differentiaaliyhtälöihin perustuvat mallit ovat kuitenkin sellaisia, että niiden analyyttinen ratkaiseminen on hankalaa tai jopa mahdotonta. Tällöin voidaan turvautua alkuarvotehtävien numeeriseen ratkaisemiseen. Tässä työssä tutkitaan erilaisia numeerisia menetelmiä, joilla voidaan ratkaista alkuarvotehtäviä numeerisesti. Työn tavoite on esitellä yksiaskelmenetelmiä, ja vertailla eri yksiaskelmenetelmiä keskenään.
Työ jakautuu teoriaosaan ja käytännön toteutukseen. Teoriaosassa esittellään ensin yksiaskelmenetelmiä yleisellä tasolla. Tämän jälkeen tutkitaan Eulerin menetelmää, Taylorin menetelmiä ja Runge--Kutta-menetelmiä tarkemmin. Teoriaosan jälkeen ratkaistaan alkuarvotehtävä numeerisesti MATLAB-ohjelmiston avulla. Lisäksi vertaillaan eri menetelmiä keskenään.
Työssä näytetään, että Eulerin menetelmän kertaluku on yksi. Tämän lisäksi saadaan yläraja Eulerin menetelmän kokonaisvirheen itseisarvolle, minkä perusteella Eulerin menetelmä on suppeneva. Ratkaistaan myös 2-vaiheisen Runge--Kutta-menetelmän kertoimet, ja nähdään, että 2-vaiheisia 2. kertaluvun Runge-Kutta-menetelmiä on ääretön määrä. Työssä esitellään yksi tällainen menetelmä sekä 4. kertaluvun Klassinen Runge--Kutta-menetelmä, joka on tunnetuin eksplisiittinen Runge--Kutta-menetelmä.
Käytännön toteutuksessa muodostetaan alkuarvotehtävä Newtonin 2. lain avulla ja ratkaistaan se kolmella eri Runge--Kutta-menetelmällä. Lisäksi vertaillaan numeerisia ratkaisuja alkuarvotehtävän tarkkaan ratkaisuun. Tämä vertailu tehtiin laskemalla kokonaisvirheiden itseisarvoja. Vertailulla havaitaan, että korkeamman kertaluvun menetelmät lähestyvät tarkkaa ratkaisua nopeammin kuin Eulerin menetelmä, kun askelpituutta pienennetään.
Työ jakautuu teoriaosaan ja käytännön toteutukseen. Teoriaosassa esittellään ensin yksiaskelmenetelmiä yleisellä tasolla. Tämän jälkeen tutkitaan Eulerin menetelmää, Taylorin menetelmiä ja Runge--Kutta-menetelmiä tarkemmin. Teoriaosan jälkeen ratkaistaan alkuarvotehtävä numeerisesti MATLAB-ohjelmiston avulla. Lisäksi vertaillaan eri menetelmiä keskenään.
Työssä näytetään, että Eulerin menetelmän kertaluku on yksi. Tämän lisäksi saadaan yläraja Eulerin menetelmän kokonaisvirheen itseisarvolle, minkä perusteella Eulerin menetelmä on suppeneva. Ratkaistaan myös 2-vaiheisen Runge--Kutta-menetelmän kertoimet, ja nähdään, että 2-vaiheisia 2. kertaluvun Runge-Kutta-menetelmiä on ääretön määrä. Työssä esitellään yksi tällainen menetelmä sekä 4. kertaluvun Klassinen Runge--Kutta-menetelmä, joka on tunnetuin eksplisiittinen Runge--Kutta-menetelmä.
Käytännön toteutuksessa muodostetaan alkuarvotehtävä Newtonin 2. lain avulla ja ratkaistaan se kolmella eri Runge--Kutta-menetelmällä. Lisäksi vertaillaan numeerisia ratkaisuja alkuarvotehtävän tarkkaan ratkaisuun. Tämä vertailu tehtiin laskemalla kokonaisvirheiden itseisarvoja. Vertailulla havaitaan, että korkeamman kertaluvun menetelmät lähestyvät tarkkaa ratkaisua nopeammin kuin Eulerin menetelmä, kun askelpituutta pienennetään.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [9897]