Lohkomatriisien kääntäminen
Laitinen, Marika (2022)
2022
Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2022-02-24
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202202242149
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202202242149
Tiivistelmä
Tämän työn aiheena on lohkomatriisien kääntäminen. Käänteismatriisit ovat hyödyllisiä työkaluja lineaariyhtälöiden ja muiden matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa. Monissa tilanteissa matriisin hajottaminen lohkoihin voi auttaa käänteismatriisin ratkaisemisessa. Työn tavoitteena on esittää menetelmiä 2 × 2 lohkomatriisien kääntämiseen.
Monessa lohkomatriisin kääntämiseen liittyvässä menetelmässä hyödynnetään Schurin komplementtia. Schurin komplementin yhtälö voidaan muodostaa tilanteissa, joissa matriisin johtava tai viimeinen lohko on ei-singulaarinen. Lisäksi työssä esitellään Schurin determinanttia.
Työssä esitellään kolme erilaista tapaa kääntää lohkomatriiseita: Banachiewicz-Schur muoto, Drazin käänteismatriisi ja Moore-Penrose käänteismatriisi. Banachiewicz-Schur muotoa voidaan käyttää matriiseille, joissa itse matriisi sekä sen johtava tai viimeinen lohko ovat ei-singulaarisia. Drazin ja Moore-Penrose käänteismatriisit ovat käänteismatriisien yksikäsitteisiä yleistyksiä sellaisissa tilanteissa, joissa matriisi ei ole kääntyvä. Drazin käänteismatriisi voidaan määrittää lohkomatriiseille, joiden johtava ja viimeinen lohko ovat neliömatriiseja, mutta ne saavat olla singulaarisia. Moore-Penrose käänteismatriisi voidaan puolestaan määrittää mille tahansa lohkomatriisille.
Monessa lohkomatriisin kääntämiseen liittyvässä menetelmässä hyödynnetään Schurin komplementtia. Schurin komplementin yhtälö voidaan muodostaa tilanteissa, joissa matriisin johtava tai viimeinen lohko on ei-singulaarinen. Lisäksi työssä esitellään Schurin determinanttia.
Työssä esitellään kolme erilaista tapaa kääntää lohkomatriiseita: Banachiewicz-Schur muoto, Drazin käänteismatriisi ja Moore-Penrose käänteismatriisi. Banachiewicz-Schur muotoa voidaan käyttää matriiseille, joissa itse matriisi sekä sen johtava tai viimeinen lohko ovat ei-singulaarisia. Drazin ja Moore-Penrose käänteismatriisit ovat käänteismatriisien yksikäsitteisiä yleistyksiä sellaisissa tilanteissa, joissa matriisi ei ole kääntyvä. Drazin käänteismatriisi voidaan määrittää lohkomatriiseille, joiden johtava ja viimeinen lohko ovat neliömatriiseja, mutta ne saavat olla singulaarisia. Moore-Penrose käänteismatriisi voidaan puolestaan määrittää mille tahansa lohkomatriisille.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [9002]