Mitan derivaatta

Abstract

Ulkomitta on kuvaus, joka liittää perusjoukon jokaiseen osajoukkoon epänegatiivisen luvun. Tällä tavoin joukolle määritetään koko. Mittateoria, joka kehitettiin 1800-luvun lopulla, perustuu joukko-oppiin. Siihen aikaan oli tarve ratkaista integrointiin ja raja-arvoihin liittyviä kysymyksiä. Mittateoria on itsenäinen matematiikan ala, mutta sen soveltuessa erinomaisesti integrointiin ne esitellään lähes poikkeuksetta yhdessä. Matemaatikoista varsinkin Henri Lebesgue edisti mitta- ja integraaliteoriaa.

Tavoitteena on tutkia mitan derivaatan ominaisuuksia ja sovelluskohteita. Diplomityö on luonteeltaan kirjallisuusselvitys ja päälähteeksi on valittu teos Measure Theory And Fine Properties Of Functions (Evans & Gariepy, 2015). Aihepiiristä on etsitty sopivia kirjoja alkaen 1960-luvulta. Näin saadaan myös historiallista näkökulmaa. Verkosta löytyvää matemaattista pohdintaa — erityisesti todistusten ideoita — on hyödynnetty runsaasti.

Perusjoukon tietyt osajoukot ovat mitallisia: sellaiset joukot käyttäytyvät loogisesti ulkomitan suhteen. Mitallinen joukko jakaa minkä tahansa osajoukon kahteen osaan, joiden ulkomittojen summa on yhtä suuri kuin jaettavan osajoukon ulkomitta. Nämä mitalliset joukot muodostavat σ-algebran, joka on eräs joukkoperhe. Jos ulkomitan lähtöjoukko rajoitetaan mitallisiin joukkoihin, niin ulkomitan asemesta puhutaan mitasta. Borelin perhe on pienin σ-algebra, joka sisältää perusjoukon avoimet osajoukot. Ulkomitta luokitellaan sen mukaan, miten se suhtautuu Borel-joukkoihin. Eräs luokka on Radon-mitta: jokainen Borel-joukko on mitallinen ja jokaisen kompaktin joukon mitta on äärellinen.

Mittateoreettinen integrointi perustuu mitalliseen kuvaukseen, jonka alkukuva jokaisesta avoimesta joukosta on mitallinen joukko. Rationaaliluvuilla ja numeroituvuudella on erityisasema mitta- ja integraaliteoriassa: maineikkaan tuloksen mukaan rationaalilukujen joukko on nollamittainen Lebesgue-ulkomitan suhteen. Nollamittaisen osajoukon komplementtiin viitataan sanaparilla melkein kaikkialla.

Peitelauseiden avulla tutkitaan mitan derivaattaa, joka määritellään suljetun pallon Radon-mittojen osamäärän raja-arvona. Vitalin ja Besicovitchin peitelauseet pelkistävät tietyt peitteet numeroituviksi n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Osoittautuu, että mitan derivaatta on olemassa äärellisenä melkein kaikkialla. Se on myös mitallinen kuvaus. Kuvauksen derivoinnille käänteinen operaatio on integrointi; vastaavasti mitan derivaatalle se on integraali jälkimmäisen mitan suhteen. Radonin-Nikodymin lause todistaa tämän.

Eräs sovellus mitan derivaatasta on Lebesguen differentioituvuuslause. Sen mukaan lokaalisti integroituvan funktion arvojoukko on lähes vakio, kun lähtöjoukkona on melkein kaikki pisteet pienestä pallosta. Lauseen erikoistapaus johdattelee käsitteeseen tiheyspiste, joka on mittateorian vastine metrisen avaruuden sisäpisteelle. Tiheyspisteen avulla määritelty approksimatiivinen raja-arvo on melkein kaikkialla voimassa oleva raja-arvo.

Outer measure maps every subset of a given set to a non-negative number. In this way, size is assigned to a set. Measure theory, developed in the end of the 19th century, is based on set theory. At that time, there was a need to solve some open questions regarding integration and limits. Measure theory is an independent field of mathematics, but due to its exceptional applicability to integration, these are introduced together very often. Among mathematicians, it was especially Henri Lebesgue who contributed to the theory of measure and integration.

Objective is to examine the properties and applications of the derivative of measure. Thesis identifies as a literature review, and the main source is Measure Theory And Fine Properties Of Functions (Evans & Gariepy, 2015). To conduct review, relevant books were gathered from the beginning of 1960s. Thus, historical viewpoints are acquired. Online mathematical resources — particularly proof-related — have been widely utilized.

Some subsets of a given set are measurable: such sets behave logically with respect to the outer measure. A measurable set divides any other subset to two such parts, that the outer measure of entire subset equals to the sum of outer measures of parts. These measurable sets form a σ-algebra, a certain family of sets. If the domain of outer measure is restricted to the measurable sets, then outer measure is actually a measure. Borel algebra is the smallest σ-algebra containing the open subsets of a given set. An outer measure is categorized according to its relation to the Borel sets. One such class is the Radon measure: every Borel set is measurable and every compact set has a finite measure.

Measure theoretical integration is based on measurable map, whose preimage obtained from any open set is a measurable set. Rational numbers and countability have a special role in measure and integration: a famous result states that the set of rational numbers has Lebesgue outer measure zero. The complement of a measure zero set is referred with the phrase almost every.

Covering theorems provide means to study the derivative of measure, which is defined as the limit of the quotient of Radon measures over a closed ball. Vitali covering lemma and Besicovitch covering theorem reduce certain covers to countable in the n-dimensional Euclidean space. It turns out that the derivative of measure exists finitely almost everywhere. It is a measurable map, too. The inverse operation of differentiating a map is integration; for the derivative of measure it is the integral with respect to the latter measure. Radon-Nikodym theorem proves it.

An application of the derivative of measure is Lebesgue differentiation theorem. It states that a locally integrable function has range close to a constant, when the domain comprises of almost every point in a small ball. The special case of the theorem leads to the concept of density point, which in measure theory corresponds to the interior point of a metric space. Approximate limit, defined through density point, is a limit that holds almost everywhere.